不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式

一、题目

$$I=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^x-(\sin x{)}^x}{x^2\arctan x}=?$$

难度评级：

二、解析

$$I=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^x-(\sin x{)}^x}{x^2\arctan x}\Rightarrow$$

提取公因式：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^x[1-{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^x]}{x^2\arctan x}\Rightarrow$$

又：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(-x)\to 0\Rightarrow$$

关于上面这个极限的相关问题，可以参考《不是只有“等于”才表示有极限：“趋于零”也意味着极限存在》这篇文章。

$$I=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-[{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^x-1]}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-x\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-\ln [(\frac{\sin x}{x}-1)+1]}{x^2}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1-\frac{\sin x}{x}}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{x-\sin x}{x}}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x-\sin x}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{1}{6}{x}^3}{x^3}=\frac{1}{6}.$$

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