不是所有的幂指函数都一定要用 e 抬起进行转换：也可以尝试提取公因式

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-(\sin x)^{x}}{x^{2} \arctan x} = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-(\sin x)^{x}}{x^{2} \arctan x} \Rightarrow
$$

提取公因式：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{x}\right]}{x^{2} \arctan x} \Rightarrow
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}(-x) \rightarrow 0 \Rightarrow
$$

关于上面这个极限的相关问题，可以参考《不是只有“等于”才表示有极限：“趋于零”也意味着极限存在》这篇文章。

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\left[\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{x}-1\right]}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-x \ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\ln \left[\left(\frac{\sin x}{x}-1\right)+1\right]}{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\frac{\sin x}{x}}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{x-\sin x}{x}}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-\sin x}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{6} x^{3}}{x^{3}}=\frac{1}{6}.
$$

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