极限都存在时的四则运算规律

一、前言

如果每个分式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在，那么，他们之间的加减乘除四则运算规律是怎样的呢？

二、正文

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$, $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$ 都存在，则：

$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\pm \underset{x\to x_0}{lim}g(x)$$

$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)\times g(x)]=[\underset{x\to x_0}{lim}f(x)]\times [\underset{x\to x_0}{lim}g(x)]$$

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{lim}f(x)}{\underset{x\to x_0}{lim}g(x)}\rightleftarrows \underset{x\to x_0}{lim}g(x)\ne 0$$

总的来说就是，如果每个分式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在，那么，对他们先做四则运算，后求极限，得到的结果，与先对他们分别求极限，后做四则运算，得到的结果，是一样的。

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