集火攻击：多种方法解一道题

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^{\sin x}}{x^3}=?$$

难度评级：

二、解析

方法 1

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^{\sin x}}{x^3}=$$

加减凑项：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^x+3^x-3^{\sin x}}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{3^x-3^{\sin x}}{x^3}=$$

应用《拉格朗日中值定理》：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\left[3(1+\frac{\sin x^2}{3})\right]}^x-3^x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\left(3^{\xi }\right)}^{\prime }(x-\sin x)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{3^x{(1+\frac{\sin x^2}{3})}^x-3^x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{3^{\xi }\ln 3(x-\sin x)}{x^3}$$

$3^x$ $=$ $3^{\xi }$ $=$ $1$, 可以直接写成常数或舍去：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(1+\frac{\sin x^2}{3})}^x-1}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln 3(x-\sin x)}{x^3}=$$

利用《等价无穷小公式》：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x\sin x^2}{3}}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln 3\cdot \frac{1}{6}{x}^3}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x^3}{3}}{x^3}+\frac{1}{6}\ln 3=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\ln 3.$$

方法 2

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(3+\sin x^2)}^x-3^{\sin x}}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x\ln (3+\sin x^2)}-e^{\sin x\ln 3}}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{[e^{x\ln (3+\sin x^2)}-1]-[e^{\sin x{\ln }^3}-1]}{x^3}=$$

利用等价无穷小公式替换：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3}{x^3}=$$

洛必达运算：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (3+\sin x^2)+x\frac{2x\cos x^2}{3+\sin x^2}-\cos x\ln 3}{3x^2}=$$

拆分：

$$\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\ln (3+\sin x^2)}{3x^2}+\frac{2x^2\cos x^2}{3x^2(3+\sin x^2)}-\frac{\cos x\ln 3}{3x^2}]=$$

继续洛必达运算或者化简：

$$\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\frac{2x\cos x^2}{3+\sin x^2}}{6x}+\frac{2}{3(3+\sin x^2)}-\frac{-\sin x\ln 3}{6x}]=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2}{18}+\frac{2}{9}+\frac{1}{6}\ln 3]=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\ln 3.$$

方法 3

对于方法 2 中得到的 $e^{x\ln (3+\sin x^2)}-e^{\sin x\ln 3}$ 这个式子，我们还有另一个计算方法：

$$\underset{x\to 0}{lim}[e^{x\ln (3+\sin x^2)}-e^{\sin x\ln 3}]=$$

拉格朗日中值定理：

$$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\xi }[x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3]\Rightarrow$$

其中，$\xi$ $\in$ $(x\ln (3+\sin x^2,\sin x\ln 3)$

$$\underset{x\to 0}{lim}[x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3].$$

方法 4

对于方法 2 中得到的 $e^{x\ln (3+\sin x^2)}-e^{\sin x\ln 3}$ 这个式子，我们还有另一个计算方法：

$$\underset{x\to 0}{lim}[e^{x\ln (3+\sin x^2)}-e^{\sin x\ln 3}]=$$

提取公因式：

$$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\sin x\ln 3}[e^{x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3}-1]=$$

等价无穷小代换：

$$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\sin x\ln 3}[x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3]=$$

$\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\sin x\ln 3}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}x\ln (3+\sin x^2-\sin x\ln 3).$$

方法 5

对于前面的方法中得到的 $x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3$ 这个式子，我们还有如下求解方法：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3}{x^3}=$$

等价无穷小或者泰勒公式代换：

$$\underset{x\to 0}{lim}(x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3)\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}(\sin x\sim x-\frac{1}{6}{x}^3)\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (3+\sin x^2)-(x-\frac{1}{6}{x}^3)\ln 3}{x^3}\Rightarrow$$

其中：

$$\ln (3+\sin x^2)=\ln \left[3(1+\frac{\sin x^2}{3})\right]=$$

$$\ln 3+\ln (1+\frac{\sin x^2}{3}).$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln 3+x\ln (1+\frac{\sin x^2}{3})-x\ln 3+\frac{x^3}{6}\ln 3}{x^3}=$$

拆分：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (1+\frac{\sin x^2}{3})}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x^3}{6}\ln 3}{x^3}=$$

等价无穷小代换和化简：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{x\sin x^2}{3}}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3}{6x^3}\ln 3=$$

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\ln 3.$$

方法 6

对于前面的方法中得到的 $x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3$ 这个式子，我还有如下求解方法：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (3+\sin x^2)-\sin x\ln 3}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x[\ln 3(1+\frac{\sin x^2}{3})]-\sin x\ln 3}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln 3+x\ln (1+\frac{\sin x^2}{3})-\sin x\ln 3}{x^3}=$$

拼凑：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (1+\frac{\sin x^2}{3})+(x\ln 3-\sin x\ln 3)}{x^3}=$$

拆分：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (1+\frac{\sin x^2}{3})}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\ln 3\cdot \frac{x-\sin x}{x^3}=$$

等价无穷小代换：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cdot \frac{x^2}{3}}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\ln 3\cdot \frac{\frac{1}{6}{x}^3}{x^3}=$$

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\ln 3.$$

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