带绝对值的式子一定要考虑清楚正负

一、题目

已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$

(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$

(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$

(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$

难度评级：

二、解析

首先，$n$ “充分大”也没有 $n \rightarrow \infty$ 时大，只是比较大而已。

又由于 $|C_{n}| \geq 0$, $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$, 因此：

$$
a_{n} \geq 0
$$

即：

$$
\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}| \Rightarrow
$$

$$
a_{n} \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|, \quad a_{n} \geq 0
$$

但是，我们不能确定 $b_{n}$ 和 $c_{n}$ 的正负。

假设 $a_{n}$, $b_{n}$ 和 $c_{n}$ 都不等于零，则当 $b_{n} < 0$ 时：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right) > 0.
$$

当 $c_{n} < 0$ 时：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right) > 0.
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right) > 0.
$$

但由于此时 $a_{n} > 0$ 一定成立，因此，下面的式子一定成立：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0.
$$

综上可知，$D$ 选项正确。

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