在一重积分中:只有积分变量可以被当作变量处理,其他“变量”都要视作常数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x)[a,a] 上连续,且 a>0, g(x)=aa|xt|f(t)dt, 则在 [a,a] 上是偶函数还是奇函数?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本题中出现了两个变量 xt, 但由 “dt” 可知,在 g(x)=aa|xt|f(t)dt 中,只有 t 可以被视作变量,x 在这个式子中要被看作常数处理。

方法 1:不去根号

g(x)=aa|xt|f(t) dt

g(x)=aa|xt|f(t) dt

g(x)=aa|x+t|f(t) dt

t=uu=t dt= du

g(x)=+aa|xu|f(u) du

g(x)=a+a|xu|f(u) du

u=taa|xt|f(t) dt=g(x)

综上可知,函数 g(x)[a,a] 上是偶函数。

方法 2:去根号

首先,由题可分类如下:

xt>0x>ta

xt<0x<ta

于是:

g(x)=aa|xt|f(t) dt=

g(x)=ax(xt)f(t) dt+xa(tx)f(t) dt

g(x)=xaxf(t) dtaxtf(t) dt+xatf(t) dtxxaf(t) dt

g(x)=axf(t) dt+xf(x)xf(x)xf(x)

xaf(t) dt+xf(x)

g(x)=axf(t) dtxaf(t) dt

于是:

g(x)=f(x)+f(x)=2f(x)

如果题目中说 f(x)>0, 则这里可以直接判断出来 g(x) 为偶函数——在本题中,由于 f(x) 是偶函数,因此,g(x) 是偶函数,进而可知,g(x) 是奇函数,最终可知,g(x) 是偶函数。


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