在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{d} t$, 则在 $[-a, a]$ 上是偶函数还是奇函数？

难度评级：

二、解析

本题中出现了两个变量 $x$ 和 $t$, 但由 “$\mathrm{d} t$” 可知，在 $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{d} t$ 中，只有 $t$ 可以被视作变量，$x$ 在这个式子中要被看作常数处理。

方法 1：不去根号

$$
g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
g(-x)=\int_{-a}^{a}|-x-t| f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
g(-x)=\int_{-a}^{a}|x+t| f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
t=-u \Rightarrow u=-t \Rightarrow \mathrm{~d} t=-\mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
g(-x)=-\int_{+a}^{-a}|x-u| f(u) \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
g(-x)=\int_{-a}^{+a}|x-u| f(u) \mathrm{~d} u \Rightarrow
$$

$$
u=t \Rightarrow \int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{~d} t=g(x)
$$

综上可知，函数 $g(x)$ 在 $[-a, a]$ 上是偶函数。

方法 2：去根号

首先，由题可分类如下：

$$
x-t>0 \Rightarrow \quad x>t \geqslant-a
$$

$$
x-t<0 \Rightarrow \quad x<t \leq a
$$

于是：

$$
g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{~d} t=
$$

$$
g(x)=\int_{-a}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{~d} t+\int_{x}^{a}(t-x) f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
g(x)=x \int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t-\int_{-a}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t+\int_{x}^{a} t f(t) \mathrm{~d} t-x \int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x) = \int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t+x f(x)-x f(x)-x f(x)-
$$

$$
\quad \int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t+x f(x) \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\int_{-a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t-\int_{x}^{a} f(t) \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
g^{\prime \prime}(x)=f(x)+f(x)=2 f(x)
$$

如果题目中说 $f(x) > 0$, 则这里可以直接判断出来 $g(x)$ 为偶函数——在本题中，由于 $f(x)$ 是偶函数，因此，$g^{\prime \prime}(x)$ 是偶函数，进而可知，$g^{\prime}(x)$ 是奇函数，最终可知，$g(x)$ 是偶函数。

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