在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)={\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t$, 则在 $[-a,a]$ 上是偶函数还是奇函数？

难度评级：

二、解析

本题中出现了两个变量 $x$ 和 $t$, 但由 “$\mathrm{d}t$” 可知，在 $g(x)={\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t$ 中，只有 $t$ 可以被视作变量，$x$ 在这个式子中要被看作常数处理。

方法 1：不去根号

$$g(x)={\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$g(-x)={\int }_{-a}^a|-x-t|f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$g(-x)={\int }_{-a}^a|x+t|f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$t=-u\Rightarrow u=-t\Rightarrow \mathrm{d}t=-\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$g(-x)=-{\int }_{+a}^{-a}|x-u|f(u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$g(-x)={\int }_{-a}^{+a}|x-u|f(u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$u=t\Rightarrow {\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t=g(x)$$

综上可知，函数 $g(x)$ 在 $[-a,a]$ 上是偶函数。

方法 2：去根号

首先，由题可分类如下：

$$x-t>0\Rightarrow x>t⩾-a$$

$$x-t<0\Rightarrow x<t\le a$$

于是：

$$g(x)={\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t=$$

$$g(x)={\int }_{-a}^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\int }_x^a(t-x)f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$g(x)=x{\int }_{-a}^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_{-a}^{x}tf(t)\mathrm{d}t+{\int }_x^{a}tf(t)\mathrm{d}t-x{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)={\int }_{-a}^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)-xf(x)-xf(x)-$$

$${\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)={\int }_{-a}^{x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t$$

于是：

$$g^{\prime \prime }(x)=f(x)+f(x)=2f(x)$$

如果题目中说 $f(x)>0$, 则这里可以直接判断出来 $g(x)$ 为偶函数——在本题中，由于 $f(x)$ 是偶函数，因此，$g^{\prime \prime }(x)$ 是偶函数，进而可知，$g^{\prime }(x)$ 是奇函数，最终可知，$g(x)$ 是偶函数。

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