对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形

一、题目

已知函数 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$, $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

$$
f(x)=(\sin x)^{\cos x} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=e^{\cos x \ln \sin x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=(\cos x \ln \sin x)^{\prime} \cdot e^{\cos x \ln \sin x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\left(-\sin x \ln \sin x+\frac{\cos ^{2} x}{\sin x}\right)(\sin x)^{\cos x}
$$

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