时刻牢记：可导函数的驻点对应着其极值点

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $3x^2+A{x}^{-3}$ $(x>0)$, 且 $A$ 为正的常数, 则 $A$ 至少为多少时, 有 $f(x)⩾20$ $(x>0)$.

难度评级：

二、解析

由于本题中的函数可导且定义域为开区间，因此，其极值点如果存在的话，一定位于定义域内部的驻点上，也就是导数值为零的点上。

于是：

$$f^{\prime }(x)=6x-3A{x}^{-4}=0\Rightarrow$$

$$6x_0=3A{x}_0^{-4}\Rightarrow$$

$$2x_0=A{x}_0^{-4}\Rightarrow$$

$$2x_0^5=A\Rightarrow$$

$$x_0^5=\frac{A}{2}\Rightarrow$$

$$B=\frac{A}{2}\Rightarrow A=2B\Rightarrow$$

$$x_0^5=B\Rightarrow$$

$$x_0=B^{\frac{1}{5}}.$$

于是：

$$f\left(x_0\right)=3{\left(\frac{A}{2}\right)}^{\frac{2}{5}}+A\cdot {\left(\frac{A}{2}\right)}^{\frac{-3}{5}}\Rightarrow$$

$$f\left(x_0\right)=3B^{\frac{2}{5}}+2B\cdot B^{\frac{-3}{5}}\Rightarrow$$

$$f\left(x_0\right)=3B^{\frac{2}{5}}+2B^{\frac{2}{5}}=20\Rightarrow$$

$$5B^{\frac{2}{5}}=20\Rightarrow B^{\frac{2}{5}}=4\Rightarrow {\left(B^2\right)}^{\frac{1}{5}}=2^2\Rightarrow$$

$$B^{\frac{1}{5}}=2\Rightarrow B=2^5\Rightarrow A=2B=2^6=64.$$

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