当被积函数含有 e 时考虑凑微分，做了变量替换不要忘记更新积分上下限

一、题目

已知，积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成的，则：

$$I={\iint }_D\frac{1}{\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=?$$

二、解析

根据题目所给条件，我们可以绘制出如下积分区域（阴影部分）：

但是，如果我们先对 $y$ 求积分，再对 $x$ 求积分，就会比较复杂：

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^1{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$$

所以，我们要调整以下积分次序：

$${\int }_0^1{e}^{-y^2}\mathrm{d}y{\int }_0^{y^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^1{e}^{-y^2}\left({2x^{\frac{1}{2}}|}_0^{y^2}\right)\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$${\int }_0^{1}2y{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$(-1){\int }_0^{-1}{e}^{-y^2}\mathrm{d}(-y^2)\Rightarrow$$

$$(-1){\int }_0^{-1}{e}^t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$(-1){e^t|}_0^{-1}=-(e^{-1}-e^0)=1-\frac{1}{e}.$$

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