交换极坐标系下二重积分的积分次序

一、题目

交换如下二重积分的积分次序：

$$
I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r = ?
$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
\theta \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right), \quad \mathrm{d} r=2 \cos \theta
$$

根据《圆的 3+1 种常用的极坐标方程》这篇文章，可以绘制出该二重积分的积分区域（阴影部分）：

分析可知，如果要我们要对该积分区域改成“先对 $\theta$ 积分，后对 $r$ 积分”，则需要先将该积分区域，通过以 $OA = \sqrt{2}$ 为半径的圆（图中绿色虚线）进行分割，形成左右两部分。

其中，曲线段 $\stackrel\frown{O C}$, $\stackrel\frown{B C}$ 和 $\stackrel\frown{A B}$ 的表示方法如下：

$$
\stackrel\frown{O C} \Rightarrow r=2 \cos \theta \Rightarrow \frac{1}{2} r=\cos \theta \Rightarrow
$$

$$
\theta=\arccos \frac{1}{2} r
$$

$$
\stackrel\frown{B C} \Rightarrow \theta=\arccos \frac{1}{2} r
$$

$$
\stackrel\frown{A B} \Rightarrow \theta=-\arccos \frac{1}{2} r
$$

注意：

[1]. 因为极轴 $r > 0$, 且根据《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章可知，$\arccos$ 的函数图像始终是大于零的，因此，要表示 $\stackrel\frown{A B}$ 就需要对 $\stackrel\frown{B C}$ 的表达式取反。

[2]. 极坐标系下积分上下限的确定也满足“先交为下限，后交为上限”的规律。

综上，我们就可以完成极坐标系下积分区域的交换：

$$
I=\int_{0}^{\sqrt{2}} r \mathrm{d} r \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos \frac{r}{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} \theta +
$$

$$
\int_{\sqrt{2}}^{2} r \mathrm{d} r \int_{-\arccos \frac{r}{2}}^{\arccos \frac{r}{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} \theta
$$

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