交换极坐标系下二重积分的积分次序

一、题目

交换如下二重积分的积分次序：

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r=?$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$\theta \in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}),\mathrm{d}r=2\cos \theta$$

根据《圆的 3+1 种常用的极坐标方程》这篇文章，可以绘制出该二重积分的积分区域（阴影部分）：

分析可知，如果要我们要对该积分区域改成“先对 $\theta$ 积分，后对 $r$ 积分”，则需要先将该积分区域，通过以 $OA=\sqrt{2}$ 为半径的圆（图中绿色虚线）进行分割，形成左右两部分。

其中，曲线段 $\stackrel{⌢}{OC}$, $\stackrel{⌢}{BC}$ 和 $\stackrel{⌢}{AB}$ 的表示方法如下：

$$\stackrel{⌢}{OC}\Rightarrow r=2\cos \theta \Rightarrow \frac{1}{2}r=\cos \theta \Rightarrow$$

$$\theta =\arccos \frac{1}{2}r$$

$$\stackrel{⌢}{BC}\Rightarrow \theta =\arccos \frac{1}{2}r$$

$$\stackrel{⌢}{AB}\Rightarrow \theta =-\arccos \frac{1}{2}r$$

注意：

[1]. 因为极轴 $r>0$, 且根据《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章可知，$\arccos$ 的函数图像始终是大于零的，因此，要表示 $\stackrel{⌢}{AB}$ 就需要对 $\stackrel{⌢}{BC}$ 的表达式取反。

[2]. 极坐标系下积分上下限的确定也满足“先交为下限，后交为上限”的规律。

综上，我们就可以完成极坐标系下积分区域的交换：

$$I={\int }_0^{\sqrt{2}}r\mathrm{d}r{\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\arccos \frac{r}{2}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}\theta +$$

$${\int }_{\sqrt{2}}^{2}r\mathrm{d}r{\int }_{-\arccos \frac{r}{2}}^{\arccos \frac{r}{2}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\mathrm{d}\theta$$

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