应用洛必达法则的三点注意事项

一、前言

洛必达法则是高等数学解题过程中常用的一个法则，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将给出应用洛必达法则的三点注意事项，帮助大家在做题过程中明确哪些时候可以用洛必达法则，哪些时候不可以用洛必达法则。

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、正文

1. 数列不可以使用洛必达法则

由于数列中的元素本身是离散的，不满足导数的概念，而使用洛必达法则又必须进行求导运算，因此，数列本身是不可以使用洛必达法则的。例如，下面的计算过程就是错的：

Next

数列极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln n}{n}\Rightarrow \mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\Rightarrow$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\ln n{)}^{\prime }}{n^{\prime }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Next

对于上面的数列，如果要使用洛必达法则，首先应该转换为函数，之后再进行计算。下面的这个计算步骤就是正确的：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln n}{n}\Rightarrow \mathrm{转}\mathrm{为}\mathrm{函}\mathrm{数}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\ln x{)}^{\prime }}{x^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0.$$

2. 只有 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型或者 $\frac{0}{0}$ 型的式子可以使用洛必达法则

例如下面这个式子的计算过程就是错误的，因为 $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\pi \cos \pi x}{6x-2}$ 这个式子已经不是 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型或者 $\frac{0}{0}$ 型的未定式了，而是一个可以得出确切数值的式子：

Next

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \pi x}{3x^2-2x-1}\Rightarrow$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\pi \cos \pi x}{6x-2}\Rightarrow$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{-{\pi }^2\sin \pi x}{6}=0.$$

Next

正确的解法如下：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \pi x}{3x^2-2x-1}\Rightarrow$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\pi \cos \pi x}{6x-2}=\frac{-\pi }{4}.$$

注意：在上面的式子中，极限是 $x\to 1$ 而不是 $x\to 0$.

3. 进行洛必达运算之后，如果极限不存在也不为 $\mathrm{\infty }$ 就不可以使用洛必达

例如下面这个式子的计算过程就是错误的，因为经过洛必达运算之后得到的式子 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 的极限不存在也不为 $\mathrm{\infty }$, 此时就说明前面所作的洛必达运算是不符合条件的：

Next

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}\Rightarrow$$

洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$$

Next

正确的计算步骤为：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{\sin x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0\cdot (\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{震}\mathrm{荡}\mathrm{函}\mathrm{数})=0.$$

Next

此外，需要注意的是，当使用洛必达法则之后得出的结果是 $\mathrm{\infty }$ 是可以说明能用洛必达法则的。例如，下面的运算过程就是正确的：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }.$$

Next

关于洛必达法则的其他补充资料，可以查看 这篇文章, 如果想测试一下对洛必达法则的掌握情况，可以 点击这里。

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