常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换

一、题目

已知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x-(\sin x)f(x)}{x^3}=0$$

则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6-f(x)}{x^2}=?$$

难度评级：

二、解析

一个 错误 的解法

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x-(\sin x)f(x)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin 6x–6x)–[(\sin x)f(x)–6x]}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x–6x}{x^3}–\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x)f(x)–6x}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{6}(6x{)}^3}{x^3}–\underset{x\to 0}{lim}\frac{xf(x)–6x}{x^3}=$$

$$(-36)–\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)–6}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=36.$$

上面的计算过程看似“天衣无缝”，实则存在一个严重的“漏洞”，那就是，在将原来的式子拆分成两个式子的时候（上面红色部分），由于函数 $f(x)$ 是一个未知函数，因此，我们不能保证拆分得到的 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x)f(x)–6x}{x^3}$ 这个式子的极限是存在的——

如果这个式子的极限存在，则可以拆分，否则，就不能拆分。

也就是说，在求解极限问题的时候，如果原式是有极限的，那么我们必须在保证将原式拆分之后的所有式子都有极限的情况下，才可以将原式进行拆分。

另外一个问题是，如果要进行等价无穷小的代换，则必须是在乘除法之间进行，而不能在加减法之间进行，但是，在上面的计算过程中，将 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x)f(x)–6x}{x^3}$ 替换为 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x)f(x)–6x}{x^3}$ 就是在加减法之间使用了等价无穷小代换，这样的求解步骤也是不对的。

正确的解法 1

既然由 $\frac{\sin 6x-(\sin x)f(x)}{x^3}$ 推导 $\frac{6-f(x)}{x^2}$ 不容易计算，那么，我们可以反过来：

从 $\frac{6-f(x)}{x^2}$ 出发凑 $\frac{\sin 6x-(\sin x)f(x)}{x^3}$.

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6-f(x)}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sin x–(\sin x)f(x)}{x^2\sin x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x–6\sin x+6\sin x–(\sin x)f(x)}{x^2\sin x}=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x–6\sin x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sin x–(\sin x)f(x)}{x^3}=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x–6\sin x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sin x)[6–f(x)]}{x^3}=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x–6\sin x}{x^3}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{[6–f(x)]}{x^2}=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sin x–\sin 6x}{x^3}\Rightarrow$$

对上式等号右侧使用洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\cos x–6\cos 6x}{3x^2}\Rightarrow$$

对上式等号右侧再次使用洛必达运算 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{–6\sin x+36\sin 6x}{6x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{–6\sin x}{6x}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{36\sin 6x}{6x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=-1+36\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6–f(x)}{x^2}=35$$

正确的解法 2

除了可以对解法 1 中橙色部分的式子 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sin x–\sin 6x}{x^3}$ 使用洛必达运算求解极限值之外，还可以使用泰勒公式求解。

已知：

$$\sin x=x–\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\Rightarrow$$

$$6\sin x=6x–x^3+o(x^3).$$

$$\sin 6x=6x–\frac{1}{6}(6x{)}^3+o(x^3)\Rightarrow$$

$$–\sin 6x=–6x+36x^3+o(x^3).$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6\sin x–\sin 6x}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6x–x^3–6x+36x^3+o(x^3)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{35x^3+o(x^3)}{x^3}=35.$$