对于周期函数而言，再细微的差别也不能忽略：无穷小是很小，但不是不存在

题目

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 $3$ 为周期的可导函数且是偶函数，并且 $f^{\prime}(-2) = -1$, 则：

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)} = ?
$$

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会给出关于本题的两个解法——一个解法是错误的，另一个解法是正确的，并会指明错误的原因。

难度评级：

二、解析

根据本题的形式，可以基本判断，这是一道考察导数定义的题目，导数的两种定义方式如下（点击即可直达对应的文章）：

• 导数的定义一
• 导数的定义二

错误的解法

根据题意可知：

$$
f(5) = f(2) = f(-2)
$$

Next

于是：

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\textcolor{orange}{5}-2 \sin h)-f(\textcolor{orange}{5})}{-2 \sin h} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\textcolor{red}{-2} – 2 \sin h)-f(\textcolor{red}{-2})}{-2 \sin h} = f^{\prime}(-2) = -1 \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(5 – 2 \sin h)-f(5)}{h} = f^{\prime}(-2) \cdot \frac{- 2\sin h}{h} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(5 – 2 \sin h)-f(5)}{h} = -1 \cdot (-2) = 2 \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5 – 2 \sin h)-f(5)} = \frac{1}{2}.
$$

Next

上面的解题步骤存在错误，得出的结果也是错的，错误的原因就是：

$$
f(\textcolor{orange}{5}-2 \sin h) \neq f(\textcolor{red}{-2} – 2 \sin h)
$$

虽然，当 $h \rightarrow 0$ 时，有 $-2 \sin h \rightarrow 0$, 但是，“趋于零”不是“等于零”，我们在应用周期函数的规律的时候，不能直接忽略自变量中的无穷小量对整个函数值的影响。

正确的解法

首先，根据导数的性质可知：

1. 若函数 $f(x)$ 是偶函数，那么函数 $f^{\prime}(x)$ 就是一个奇函数；
2. 求导运算不会改变周期函数原有的周期规律。

于是，我们有：

$$
f^{\prime}(5) = f^{\prime} (2) = – f^{\prime}(-2) = -(-1) = 1
$$

Next

进而：

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(5-2 \sin h)-f(5)}{-2 \sin h} = f^{\prime}(5) = 1 \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(5-2 \sin h)-f(5)}{h} = f^{\prime}(5) \cdot \frac{-2 \sin h}{h} \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(5-2 \sin h)-f(5)}{h} = 1 \cdot (-2) = -2 \Rightarrow
$$

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)} = \frac{-1}{2}.
$$

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