隐函数结合变限积分的一个简单例题：遇到变限积分一般就要求导

一、题目

已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x^2$ $+$ ${\int }_0^y(2+\sin t^2)\mathrm{d}t$ $=$ $1$ 所确定的一个隐函数，则 $\mathrm{d}y=?$

难度评级：

二、解析

$$x^2+{\int }_0^y(2+\sin t^2)\mathrm{d}t=1\Rightarrow$$

对 $x$ 进行求导运算 $\Rightarrow$

$$2x+(2+\sin y^2)\cdot y^{\prime }=0\Rightarrow$$

需要记住：根据题意，$y$ 是 $x$ 的函数，因此，$y$ 实际上就是一个代指某个由 $x$ 组成的式子的符号。

Next

$$2x+(2+\sin y^2)\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\Rightarrow$$

$$(2+\sin y^2)\cdot \mathrm{d}y=-2x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}y=\frac{-2x\mathrm{d}x}{2+\sin y^2}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}y=\frac{-2x}{2+\sin y^2}\mathrm{d}x.$$

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