三种方法解一道数列极限题

一、题目题目 - 荒原之梦

limnn2(arctan2narctan2n+1)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法一:等价无穷小 + 取大舍小

limnn2(arctan2narctan2n+1)=

limn(n2arctan2nn2arctan2n+1)

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有等价无穷小 arctanx tanx arcsinx sinx x, 于是

limn(n22nn22n+1)=

limn(2n2n2n2n+1)=

limn2n2(n+1)2n3n(n+1)=

limn2n3+2n22n3n(n+1)=

limn2n2n2+n=

limn2n2n2=2.

方法二:拉格朗日中值定理

arctan2narctan2n+1 可以看作是函数 f(x) = arctanx 取不同变量所形成的式子。

因此,根据拉格朗日中值定理,有:

f(2n)f(2n+1)2n2n+1=f(ξ).

其中,ξ (2n,2n+1).

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于是:

f(2n)f(2n+1)2n2n+1=f(ξ)

f(2n)f(2n+1)2n2n+1=(arctanξ)

f(2n)f(2n+1)2n2n+1=11+ξ2

f(2n)f(2n+1)=11+ξ2(2n2n+1)

f(2n)f(2n+1)=11+ξ22n2+n.

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由于 ξ (2n,2n+1), 于是,当 n 时,ξ0, 即:

limx011+ξ2=1.

进而:

f(2n)f(2n+1)=11+ξ22n2+n

f(2n)f(2n+1)=2n2+n

arctan2narctan2n+1=2n2+n

limnn2(arctan2narctan2n+1)=

limx2n2n2+n=limx2n2n2=2.

方法三:将 0 型转为 00 型并用洛必达法则直接算

limnn2(arctan2narctan2n+1)=

limn(arctan2narctan2n+1)1n2=

limn[arctan2narctan(1n21+1n)]1n2

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x=1n

limx0+[arctan2xarctan(x21+x)]x2=

limx0+arctan2xarctan2x1+xx2

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洛必达法则

limx0+21+4x22(1+x)2x(1+x)21+4x2(1+x)22x=

limx0+21+4x22(1+x)2x(1+x)2(1+x)2(1+x)2+4x22x=

limx0+21+4x22(1+x)2x(1+x)2+4x22x=

limx0+2[(1+x)2+4x2](1+4x2)[2(1+x)2x](1+4x2)[(1+x)2+4x2]12x=

limx0+[(1+x)2+4x2](1+4x2)[(1+x)x]x(1+4x2)[(1+x)2+4x2]=

limx0+(1+x)2+4x214x2x(1+4x2)[(1+x)2+4x2]=

limx0+(1+x)21x(1+4x2)[(1+x)2+4x2]=

limx0+x2+2xx(1+4x2)[(1+x)2+4x2]=

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limx0+x+2(1+4x2)[(1+x)2+4x2]=211=2.


荒原之梦考研数学思维导图
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