变限积分积分中的不同变量该怎么对待？

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_{x^2}^x\frac{\sin (xt)}{t}\mathrm{d}t}{x^2}=?$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

若令 $k$ $=$ $xt$, 则：

$$k=xt$$

$$t=\frac{1}{x}k$$

$$\mathrm{d}t=\frac{1}{x}\mathrm{d}k$$

$$t\in (x^2,x)\Rightarrow k=xt\in (x^3,x^2)$$

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于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_{x^2}^x\frac{\sin (xt)}{t}\mathrm{d}t}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cdot \frac{1}{x}{\int }_{x^3}^{x^2}\frac{\sin k}{k}\mathrm{d}k}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_{x^3}^{x^2}\frac{\sin k}{k}\mathrm{d}k}{x^2}\Rightarrow$$

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洛必达法则 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x\cdot \frac{\sin x^2}{x^2}–3x^2\cdot \frac{\sin x^3}{x^3}}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x–3x^2}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x–0}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{2x}=1.$$

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总结

解答本题需要注意：

1. 做变量替换之后，新变量的取值范围不要弄错——首先要明确谁是原来的变量；
2. 在进行洛必达运算时，对分子进行求导之后，不要忘记对分母也进行求导。

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