变限积分积分中的不同变量该怎么对待？

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	A1(含有变限积分)
	A2(含有极限)
	A1 --> A11(x 在上下限中)
	A11 --> B1(将 x 视为常数)
	A1 --> A12(t 为积分变量)
	A12 --> B2(将 t 视为变量)
	B1 --> C1(要将常数移动到被积函数外部)
	B2 --> C2(明确变量的取值范围)
	C1 --> D1(进行变量替换)
	C2 --> D1
	D1 --> E1(洛必达运算, 去除积分符号)
	A2 --> E1
	E1 --> F1(舍去更小的无穷小)
	F1 --> G1(解出答案)

二、解析

若令 $k$ $=$ $xt$, 则：

$$
k = xt
$$

$$
t =\frac{1}{x} k
$$

$$
\mathrm{d} t = \frac{1}{x} \mathrm{d} k
$$

$$
t \in (x^{2}, x) \Rightarrow k = xt \in (x^{3}, x^{2})
$$

Next

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot \frac{1}{x} \int_{x^{3}}^{x^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{d} k }{x^{2}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \int_{x^{3}}^{x^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{d} k }{x^{2}} \Rightarrow
$$

Next

洛必达法则 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2x \cdot \frac{\sin x^{2}}{x^{2}} – 3x^{2} \cdot \frac{\sin x^{3}}{x^{3}} }{2x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2x – 3x^{2} }{2x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2x – 0 }{2x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2x }{2x} = 1.
$$

Next

总结

解答本题需要注意：

1. 做变量替换之后，新变量的取值范围不要弄错——首先要明确谁是原来的变量；
2. 在进行洛必达运算时，对分子进行求导之后，不要忘记对分母也进行求导。

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