有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}–\sqrt{x^2–x})=?$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

方法一：取“大头”，舍“小头”

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}–\sqrt{x^2–x})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sqrt{x^2+x}–\sqrt{x^2–x}}{1})\Rightarrow$$

Next

分子有理化 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2+x–x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2–x}})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2–x}})\Rightarrow$$

Next

保留“很大的“ $x^2$, 舍去“很小的” $x$ $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x}{x+x})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x}{2x})=1.$$

方法二：化无穷大为无穷小

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}–\sqrt{x^2–x})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sqrt{x^2+x}–\sqrt{x^2–x}}{1})\Rightarrow$$

Next

分子有理化 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2+x–x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2–x}})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2–x}})\Rightarrow$$

Next

将无穷大转化为无穷小 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}+\sqrt{x^2(1–\frac{1}{x})}}]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{2x}{x\sqrt{(1+\frac{1}{x})}+x\sqrt{(1–\frac{1}{x})}}]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{2x}{x\sqrt{(1+0)}+x\sqrt{(1–0)}}]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{2x}=1.$$

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