有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(无理式) --> B(分子有理化)
	B --> C1(保留较大的无穷大)
	B --> C2(舍去较小的无穷小)
	C1 --> D(解出答案)
	C2 --> D

二、解析

方法一：取“大头”，舍“小头”

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{\sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x}}{1} \Big) \Rightarrow
$$

Next

分子有理化 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{x^{2} + x – x^{2} + x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} – x}} \Big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} – x}} \Big) \Rightarrow
$$

Next

保留“很大的“ $x^{2}$, 舍去“很小的” $x$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^{2}}} \Big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{2 x}{x + x} \Big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{2 x}{2 x} \Big) = 1.
$$

方法二：化无穷大为无穷小

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{\sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x}}{1} \Big) \Rightarrow
$$

Next

分子有理化 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{x^{2} + x – x^{2} + x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} – x}} \Big) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Big( \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x} + \sqrt{x^{2} – x}} \Big) \Rightarrow
$$

Next

将无穷大转化为无穷小 $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Bigg[ \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}(1 + \frac{1}{x})} + \sqrt{x^{2}(1 – \frac{1}{x})}} \Bigg] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Bigg[ \frac{2 x}{x\sqrt{(1 + \frac{1}{x})} + x\sqrt{(1 – \frac{1}{x})}} \Bigg] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \Bigg[ \frac{2 x}{x\sqrt{(1 + 0)} + x\sqrt{(1 – 0)}} \Bigg] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 x}{2x} = 1.
$$

---