微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？

一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）

难度评级：

解 题 思 路 简 图

 graph TB
	A(判断方程类型) --> B(二阶非齐次) --> C(确定右端项的类型) --> D(求出特征值)
	D --> E(设出非齐次特解的形式)
	D --> F(设出齐次通解的形式)
	E --> G(确定能确定的系数)
	G --> H(非齐通=齐通+非齐特)
	F --> H

二、解析

特征方程：

$$
\lambda^{2} + 4 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = \alpha \pm i \beta = 0 \pm 2 i.
$$

由上可知，$\alpha$ $=$ $0$, $\beta$ $=$ $2$.

Next

于是，可以设出对应的齐次微分方程的通解形式为：

$$
y^{*} = e^{\alpha x} [C_{1} \cos \beta x + C_{2} \sin \beta x] \Rightarrow
$$

$$
y^{*} = C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x
$$

Next

同时，可以设出该非齐次微分方程特解的形式：

$$
Y = x^{k} e^{\alpha x} [A \cos \beta x + B \sin \beta x] \Rightarrow
$$

$$
Y = x (A \cos \beta x + B \sin \beta x) \Rightarrow
$$

$$
Y = x (A \cos 2 x + B \sin 2 x) \quad ①
$$

Next

进而，有：

$$
Y^{\prime} = A \cos 2 x + B \sin 2 x + x(-2A \sin 2x + 2B \cos 2x)
$$

$$
Y^{\prime \prime} = -2A \sin 2x + 2B \cos 2x -2A \sin 2x +
$$

$$
2B \cos 2x + x(-4A \cos 2 x – 4B \sin 2x) \quad ②
$$

Next

于是，将上面的 $①$ 式和 $②$ 式代入到 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 可得：

$$
\left\{\begin{matrix}
A = 0； \\
B = \frac{1}{4}.
\end{matrix}\right.
$$

Next

于是，该非齐次微分方程的特解为：

$$
Y = \frac{x}{4} \sin 2 x.
$$

综上可知，该非齐次微分方程的通解为：

$$
y = y^{*} + Y \Rightarrow
$$

$$
y = C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x + \frac{x}{4} \sin 2 x
$$

其中，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 表示任意常数。

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