微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？

一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

特征方程：

$${\lambda }^2+4=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\alpha \pm i\beta =0\pm 2i.$$

由上可知，$\alpha$ $=$ $0$, $\beta$ $=$ $2$.

Next

于是，可以设出对应的齐次微分方程的通解形式为：

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}[C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x]\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$$

Next

同时，可以设出该非齐次微分方程特解的形式：

$$Y=x^k{e}^{\alpha x}[A\cos \beta x+B\sin \beta x]\Rightarrow$$

$$Y=x(A\cos \beta x+B\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$Y=x(A\cos 2x+B\sin 2x)\mathrm{①}$$

Next

进而，有：

$$Y^{\prime }=A\cos 2x+B\sin 2x+x(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)$$

$$Y^{\prime \prime }=-2A\sin 2x+2B\cos 2x-2A\sin 2x+$$

$$2B\cos 2x+x(-4A\cos 2x–4B\sin 2x)\mathrm{②}$$

Next

于是，将上面的 $\mathrm{①}$ 式和 $\mathrm{②}$ 式代入到 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y$ $=$ $\cos 2x$ 可得：

$$\{\begin{array}{c}A=0；\\ B=\frac{1}{4}.\end{array}$$

Next

于是，该非齐次微分方程的特解为：

$$Y=\frac{x}{4}\sin 2x.$$

综上可知，该非齐次微分方程的通解为：

$$y=y^{\ast }+Y\Rightarrow$$

$$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\frac{x}{4}\sin 2x$$

其中，$C_1$ 和 $C_2$ 表示任意常数。

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