微分方程的解具有可加性

一、题目题目 - 荒原之梦

方程 y + y = ex + 1 + sinx 的特解形式为( )

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

根据微分方程解的可加性,我们只需要分别求出以下三个微分方程的特解,并将这些特解相加,即可解出本题:

y+y=ex

y+y=1

y+y=sinx

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首先,特征方程和特征值如下:

λ2+1=0

λ2=1

λ=±i

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于是,根据《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》这篇文章中提供的方法,有:

y+y=ex

y1=xkaex=x0aex=aex

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y+y=1

y2=xkbeμx=x0be0=be0=b

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y+y=sinx

y3=xkeαx[ccosβx+dsinβx]

y3=x1e0[ccos(1x)+dsin(1x)]

y3=x(ccosx+dsinx)

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综上可知,方程 y + y = ex + 1 + sinx 的特解形式为:

y=aex+b+x(ccosx+dsinx)


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