微分方程的解具有可加性

一、题目

方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为（ ）

难度评级：

二、解析

根据微分方程解的可加性，我们只需要分别求出以下三个微分方程的特解，并将这些特解相加，即可解出本题：

$$
y^{\prime \prime} + y = \mathrm{e}^x
$$

$$
y^{\prime \prime} + y = 1
$$

$$
y^{\prime \prime} + y = \sin x
$$

Next

首先，特征方程和特征值如下：

$$
\lambda^{2} + 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2} = -1 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = \pm i
$$

Next

于是，根据《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》这篇文章中提供的方法，有：

$$
y^{\prime \prime} + y = \mathrm{e}^x \Rightarrow
$$

$$
y^{*}_{1} = x^{k} a e^{x} = x^{0} ae^{x} = ae^{x}
$$

Next

$$
y^{\prime \prime} + y = 1 \Rightarrow
$$

$$
y^{*}_{2} = x^{k} b e^{\mu x} = x^{0}be^{0} = be^{0} = b
$$

Next

$$
y^{\prime \prime} + y = \sin x
$$

$$
y^{*}_{3} = x^{k} e^{\alpha x} [c \cos \beta x + d \sin \beta x] \Rightarrow
$$

$$
y^{*}_{3} = x^{1} e^{0}[c \cos (1x) + d \sin (1x)] \Rightarrow
$$

$$
y^{*}_{3} = x (c \cos x + d \sin x)
$$

Next

综上可知，方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为：

$$
y^{*} = ae^{x} + b + x (c \cos x + d \sin x)
$$

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