微分方程的解具有可加性

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $y$ $=$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为（ ）

难度评级：

二、解析

根据微分方程解的可加性，我们只需要分别求出以下三个微分方程的特解，并将这些特解相加，即可解出本题：

$$y^{\prime \prime }+y={\mathrm{e}}^x$$

$$y^{\prime \prime }+y=1$$

$$y^{\prime \prime }+y=\sin x$$

Next

首先，特征方程和特征值如下：

$${\lambda }^2+1=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2=-1\Rightarrow$$

$$\lambda =\pm i$$

Next

于是，根据《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》这篇文章中提供的方法，有：

$$y^{\prime \prime }+y={\mathrm{e}}^x\Rightarrow$$

$$y_1^{\ast }=x^{k}a{e}^x=x^{0}a{e}^x=a{e}^x$$

Next

$$y^{\prime \prime }+y=1\Rightarrow$$

$$y_2^{\ast }=x^{k}b{e}^{\mu x}=x^{0}b{e}^0=b{e}^0=b$$

Next

$$y^{\prime \prime }+y=\sin x$$

$$y_3^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[c\cos \beta x+d\sin \beta x]\Rightarrow$$

$$y_3^{\ast }=x^1{e}^0[c\cos (1x)+d\sin (1x)]\Rightarrow$$

$$y_3^{\ast }=x(c\cos x+d\sin x)$$

Next

综上可知，方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $y$ $=$ ${\mathrm{e}}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为：

$$y^{\ast }=a{e}^x+b+x(c\cos x+d\sin x)$$

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