对称区间上的定积分除了考虑利用奇偶性，还可以考虑用“区间再现”哦

一、题目

$${\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

本题可以借助区间再现公式求解，同时，在求解本题时需要格外注意正负号。

令 $t$ $=$ $2$ $+$ $(-2)$ $-$ $x$, 于是：

$$t=-x$$

$$x=-t$$

$$\mathrm{d}x=–\mathrm{d}t$$

$$x\in (-2,2)\Rightarrow t\in (2,-2)$$

Next

于是：

$${\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_2^{-2}(-t)\ln (1+e^{-t})\mathrm{d}t=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}t\ln (1+e^{-t})\mathrm{d}t.$$

Next

若令 $t$ $=$ $x$, 则：

$$–{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^{-x})\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+\frac{1}{e^x})\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}x\ln (\frac{e^x+1}{e^x})\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}x[\ln (1+e^x)–\ln e^x]\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x+{\int }_{-2}^{2}x\ln e^x\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x+{\int }_{-2}^2{x}^2\mathrm{d}x.$$

Next

进而：

$${\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x=–{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x+{\int }_{-2}^2{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2{\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x={\int }_{-2}^2{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_{-2}^2{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_{-2}^{2}x\ln (1+e^x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{x}^3{|}_{-2}^2=\frac{1}{6}(8+8)=\frac{8}{3}.$$

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