判断 $y$ $=$ $\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线的条数和类型

一、题目

判断如下函数的渐近线的条数和类型：

$$y=\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}$$

难度评级：

二、解析

关于求解函数渐近线的基础知识，可以查看 这篇文章。

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1. 水平渐近线

首先判断是否存在水平渐近线：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x}\cdot e^{\frac{1}{x}}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x\cdot e^0=+\mathrm{\infty }.$$

Next

$$\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x}\cdot e^{\frac{1}{x}}=$$

$$\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}x\cdot e^0=–\mathrm{\infty }.$$

因此，该函数不存在水平渐近线。

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2. 倾斜渐近线

接着判断是否存在倾斜渐近线：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x(x+1)}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x^2+x}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}1\cdot e^0=1.$$

因此，该函数存在一条倾斜渐近线。

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3. 垂直渐近线

最后判断垂直渐近线：

观察可知，对于函数 $y$ $=$ $\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 而言，有如下两个定义不存在的点：

$x$ $=$ $1$ 和 $x$ $=$ $-1$.

其中，根据指数函数的性质可知，在 $x$ $=$ $1$ 处，需要在左右两边分别讨论极限。

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于是：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}1\cdot e^{\frac{1}{0^{+}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}1\cdot e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$$

Next

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}1\cdot e^{\frac{1}{0^{-}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}1\cdot e^{-\mathrm{\infty }}=1\cdot 0=0.$$

Next

$$\underset{x\to (-1)}{lim}\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{-2}}=$$

$$\underset{x\to (-1)}{lim}\frac{2}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{-2}}=\mathrm{\infty }.$$

因此，当 $x$ $\to$ $1^{+}$ 和 $x$ $\to$ $-1$ 时，存在两条垂直渐近线。

Next

综上可知，函数 $y$ $=$ $\frac{x^2+1}{x+1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 存在 $1$ 条倾斜渐近线，存在 $2$ 条垂直渐近线。

该函数的函数图像示意图如下（其中红色实线为函数图象，虚线则为渐近线）：

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