讨论函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right.$ 的间断点类型

一、题目题目 - 荒原之梦

下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点:

$$
f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\
1 & x = 1
\end{matrix}\right.
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察可知,函数 $f(x)$ 的间断点就位于 $x$ $=$ $1$ 处。

当 $x$ $\rightarrow$ $1^{+}$ 时,有:

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{0^{+}}}}{1 + 2^{\frac{1}{0^{+}}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{+ \infty}}{1 + 2^{+ \infty}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2^{+ \infty}}{2^{+ \infty}} = 1.
$$

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当 $x$ $\rightarrow$ $1^{-}$ 时,有:

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{0^{-}}}}{1 + 2^{\frac{1}{0^{-}}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{- \infty}}{1 + 2^{- \infty}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 0}{1 + 0} = 2.
$$

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综上可知,$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。


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