讨论函数 $f(x)$ $=$ $\{\begin{array}{cc}\frac{2–2^{\frac{1}{x-1}}}{1+2^{\frac{1}{x-1}}},& x\ne 1\\ 1& x=1\end{array}$ 的间断点类型

一、题目

下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点：

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{2–2^{\frac{1}{x-1}}}{1+2^{\frac{1}{x-1}}},& x\ne 1\\ 1& x=1\end{array}$$

难度评级：

二、解析

观察可知，函数 $f(x)$ 的间断点就位于 $x$ $=$ $1$ 处。

当 $x$ $\to$ $1^{+}$ 时，有：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{\frac{1}{x-1}}}{1+2^{\frac{1}{x-1}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{\frac{1}{0^{+}}}}{1+2^{\frac{1}{0^{+}}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{+\mathrm{\infty }}}{1+2^{+\mathrm{\infty }}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2^{+\mathrm{\infty }}}{2^{+\mathrm{\infty }}}=1.$$

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当 $x$ $\to$ $1^{-}$ 时，有：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{\frac{1}{x-1}}}{1+2^{\frac{1}{x-1}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{\frac{1}{0^{-}}}}{1+2^{\frac{1}{0^{-}}}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–2^{-\mathrm{\infty }}}{1+2^{-\mathrm{\infty }}}=$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2–0}{1+0}=2.$$

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综上可知，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。

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