一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$
难度评级：
二、解析 
方法一
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \frac{1}{n} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} =
$$
Next 
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{n \ln n}}{e^{n \ln (n + 1)}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{n \ln n – n \ln (n + 1)} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{\ln n – \ln (n + 1)}{\frac{1}{n}}} \Rightarrow
$$
Next
对指数使用洛必达法则 $\Rightarrow$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{\frac{1}{n} – \frac{1}{n + 1}}{\frac{-1}{n^{2}}}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n(n+1)} \cdot \frac{n^{2}}{-1}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{-1}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{-1} = \frac{1}{e}.
$$
Next
方法二
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} \cdot n \cdot \sin \frac{1}{n} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} \cdot \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} \cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} =
$$
Next
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^{n}}{n^{n}}}{\frac{(n + 1)^{n}}{n^{n}}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\big( \frac{n + 1}{n} \big)^{n}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\big( 1 + \frac{1}{n} \big)^{n}} =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\big( 1 + 0 \big)^{\infty}} = \frac{1}{e}.
$$
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