一、题目
$$
\int_{0}^{2} x \sqrt{2x – x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
本文的题目解析中提供了三种不同角度的解法。
难度评级:
继续阅读“用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目”$$
\int_{0}^{2} x \sqrt{2x – x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
本文的题目解析中提供了三种不同角度的解法。
难度评级:
继续阅读“用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目”$$
\int_{0}^{1} x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“求解定积分 $\int_{0}^{1}$ $x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}}$”判断如下函数的渐近线的条数和类型:
$$
y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}
$$
难度评级:
继续阅读“判断 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 的渐近线的条数和类型”求解函数 $f(x)$ 的零点的个数:
$$
f(x) = \ln x – \frac{x}{e} + k
$$
其中,$k$ $>$ $0$.
难度评级:
继续阅读“求解函数 $f(x)$ $=$ $\ln x$ $-$ $\frac{x}{e}$ $+$ $k$ 零点的个数”下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点:
$$
f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\
1 & x = 1
\end{matrix}\right.
$$
难度评级:
继续阅读“讨论函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{matrix}\right.$ 的间断点类型”已知:
$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x^{2} – \ln^{2}(1+x) \Big]
$$
$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}} – e^{\sqrt{1-x^{3}}}}{e}
$$
则,$\alpha$ 与 $\beta$ 之间是什么关系?
难度评级:
继续阅读“一个看似不可能的等价无穷小代换的应用”$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \pi \sqrt{4n^{2} + n} = ?
$$
难度评级:
继续阅读“什么时候该舍去较小的无穷大?以 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sin \pi \sqrt{4n^{2} + n}$ 为例”$$
\int_{0}^{\pi} x \sin^{2} x \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
继续阅读“计算定积分 $\int_{0}^{\pi}$ $x \sin^{2} x$ $\mathrm{d} x$”$$
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“计算定积分 $\int_{0}^{\pi}$ $x$ $f(\sin x)$ $\mathrm{d} x$”已知 $y$ $=$ $x^{2}$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$
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继续阅读“已知 $y$ $=$ $x^{2}$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$”证明:
$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
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继续阅读“证明 $(\arcsin x)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$”若 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} & 1, |x| \leqslant 1, \\ & 0, |x| > 1, \end{cases}$ 则复合函数 $f[f(x)]$ $=$ $?$
继续阅读“每日一题:计算复合函数 $f[f(x)]$”$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}{e^{x}} = ?
$$
因为对于 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 而言,必须有 $x$ $\neq$ $0$, 于是,在区间 $[-1, 1]$ 内,定积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 其实是一个瑕积分,瑕点就是 $x$ $=$ $0$, 由于在真正进行积分运算的时候,被积函数不能包含瑕点,所以,我们必须在 $x$ $=$ $0$ 处对原积分进行“分割”。
函数 $y$ $=$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的示意图像如下: