标签： 高等数学练习题

一、题目

数列 $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\cdots$, $\sqrt[n]{n}$, $\cdots$ 的最大值是哪一项？

难度评级：

继续阅读“摆脱惯性思维：数列不一定都是单调的，也可能有“最值点””

一、题目

$${\int }_0^1\arcsin x\cdot \arccos x\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换”

一、题目

已知：

$$f(x)=x^2–x{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+2{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$

则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

继续阅读“如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换”

一、题目

已知：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 6x-(\sin x)f(x)}{x^3}=0$$

则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{6-f(x)}{x^2}=?$$

难度评级：

继续阅读“常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换”

一、题目

已知

$$z={(y^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2y^2}})}^{\sqrt{x^2+y^2}}$$

则 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数”

一、题目

已知 $z$ $=$ ${\mathrm{e}}^x$ $-$ ${\mathrm{e}}^{x+y}$ $+$ $y^2$ $+$ $(x+y{)}^3$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=?$

难度评级：

继续阅读“y 不一定就是 x 的函数”

一、题目

已知 $f(x,y)$ $=$ $\frac{x^2+y^2}{e^{xy}+xy\sqrt{x^2+y^2}}$, 则 $f_x^{\prime }(1,0)=?$

难度评级：

继续阅读“只对 x 求偏导时，y 的值可以提前代入”

一、题目

$$I_1=\int {\cos }^{4}x\mathrm{d}x=?$$

$$I_2=\int {\sin }^{4}x\mathrm{d}x=?$$

继续阅读“双剑合一：联合积分”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=1}^n\sqrt{k}}{\sum _{k=1}^n\sqrt{n+k}}=?$$

难度评级：

继续阅读“遇到数列求和就要考虑是否可以使用定积分的定义求解”

一、题目

已知：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x+1,& x>0,\\ \frac{1}{1+x^2},& x⩽0,\end{array}$$

则 $f(x)$ 的所有原函数是多少？

难度评级：

继续阅读“对于解题过程中的未知数要想一想有没有办法求出来：以“可导必连续”为例”

一、题目

已知，有界函数 $f(x)$ 在区间 $(c,+\mathrm{\infty })$ 内可导，且 $lim{f}^{\prime }(x)$ $=$ $b$, 则 $b$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“导数的值反映的是原函数的增长率”

一、题目

$$\int \frac{x{e}^x}{\sqrt{1+e^x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“分母上的根号可以通过求导去除”

一、题目

$$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“给根号换个形式：不去根号胜去根号”

一、题目

$$\int \sqrt{\frac{3-2x}{3+2x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“两种方法去根号：分子有理化或整体代换”

一、题目

已知 $\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ $=$ $\arctan x+C$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

继续阅读“当积分符号无法通过积分运算消去时，就要尝试通过求导运算消去”