标签： 高等数学练习题

一、题目

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{cc}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}$ 则：

$$f_{xy}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

$$f_{yx}^{\prime \prime }(0,0)=?$$

难度评级：

继续阅读“这个二元函数一点处的导数你会求解吗？”

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{{(1+{\mathrm{e}}^{-x})}^2}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“你能走出这个关于 $e^x$ 的迷宫吗？”

一、题目

下面四个命题哪个是错误的：

(1) 数列极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.

(2) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ ), 则 $x_n$ 有界.

(3) 数列极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在 $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=1$.

(4) 数列 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ $\iff$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n-1}$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n}=a$.

难度评级：

继续阅读“你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？”

一、前言

你知道对于数列 $x_n$ 而言，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}$ 蕴含着多少知识吗？

继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。

继续阅读“关于数列极限比值的那些事”

一、题目

$$I={\int }_0^1{x}^4\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“有根号有平方：三角代换用起来！”

一、题目

$$I={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？”

一、题目

已知 $f(x)$ 一阶可导, $f(x)>0$, $f^{\prime }(x)>0$, 则当 $\mathrm{\Delta }x>0$ 时，${\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)\mathrm{d}t$, $f(x)\mathrm{\Delta }x$ 和 $0$ 的大小关系如何？

难度评级：

继续阅读“这个不等式反映了积分的本质原理”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array},F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征？

难度评级：

继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”

一、题目

已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a,b)$ 内的哪些性质？

难度评级：

继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”

一、题目

证明下面两个式子是成立的：

1.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x<1$$

2.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>1$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？”

一、题目

证明下面两个结论：

1.

$${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>0$$

2.

$${\int }_0^{2\pi }\cos x\cdot \ln (2+\cos x)\mathrm{d}x>0$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗？”

一、题目

已知 $f(t)={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t{\mathrm{e}}^{t{y}^2}\mathrm{d}y$, 则 $f^{\prime }(1)=?$

难度评级：

继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题”

一、题目

已知 $f(0)=0$, $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\mathrm{\infty })$ 上是单调递增还是单调递减？

难度评级：

继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗？”

一、题目

已知常数 $a>1$, $y=x$ 为曲线 $y=a^x$ 的切线, 则 $a$ 等于多少，切点是多少？

难度评级：

继续阅读“想求解这个答案需要猜一猜”

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a|g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦”