标签： 高等数学基础

一、前言

简单地说，有理数就是可以写成两个整数比值形式的数，而无理数就是不能写成两个整数比值形式的数。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过简单的定理描述和示例，让同学们迅速理解这两个概念。

继续阅读“什么是有理数？什么是无理数？”

一、题目

$y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？

难度评级：

继续阅读“计算函数 $y$ $=$ $\frac{e^x–e^{-x}}{2}$ 的反函数”

一、前言

在本文中，荒原之梦网将使用奇函数的定义完成对 $F(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数还是偶函数的判断。

继续阅读“$F(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数还是偶函数？”

一、问题描述

在做有些涉及极限的题目时，我们常常会遇到下面这样的表述：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$

但是，我们可能会产生这样的疑问：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 既不是 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}$, 也不是 $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}$, 那么，在计算含有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 的式子时该怎么计算，需要 分 类 讨 论 嘛？

继续阅读“高数极限小技巧：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 默认就是 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}$”

一、题目

设 $y$ $=$ $y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 满足 $y(0)$ $=$ $a$ 与 $y^{\prime }(0)$ $=$ $b$ 的特解，其中 $m$ 和 $n$ 为常数，且 $m$ $>$ $n$ $>$ $0$, 则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}$ $y(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $?$

继续阅读“计算微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $2m{y}^{\prime }$ $+$ $n^{2}y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分”

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $y^{\prime }$ $-$ $2y$ $=$ $(6x+2)e^x$ 满足条件 $y(0)$ $=$ $3$, $y^{\prime }(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{\ast }$ $=$ $?$

继续阅读“计算微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $y^{\prime }$ $-$ $2y$ $=$ $(6x+2)e^x$ 满足指定条件的特解”

一、题目

微分方程 $y$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $2$ $(y^{\prime }{)}^2$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y(0)$ $=$ $1$, $y^{\prime }(0)$ $=$ $-1$ 的特解是？

继续阅读“计算微分方程 $y$ $y^{\prime \prime }$ $+$ $2$ $(y^{\prime }{)}^2$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解”

一、题目

对变上限积分：

$${\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t$$

进行求导运算的结果是什么？

继续阅读“对变上限积分 ${\int }_0^x$ $tf(x–t)$ $\mathrm{d}t$ 进行求导运算”

一、题目

$$\int e^{\int (\frac{1}{y^2}–\frac{2}{y})\mathrm{d}y}\mathrm{d}y=?$$

继续阅读“计算不定积分：$\int e^{\int (\frac{1}{y^2}–\frac{2}{y})\mathrm{d}y}$ $\mathrm{d}y$”

一、问题描述

当 $x$ $\to$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：

$$e^x–1\sim x$$

但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：

$$1–e^x\sim x$$

继续阅读“借助泰勒定理记忆等价无穷小：$e^x$ $-$ $1$ $\sim$ $x$”

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

$$(\tan \alpha {)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

即：

$$1+{\tan }^2\alpha =(\tan \alpha {)}^{\prime }$$

继续阅读“异曲同工：$1$ $+$ ${\tan }^2\alpha$ 与 $(\tan \alpha {)}^{\prime }$”

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(uv{)}^{\prime }$ 的求导计算公式如下：

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(uv{)}^{\prime }$ 到底是等于 $u^{\prime }v$ $+$ $u{v}^{\prime }$ 还是等于 $u^{\prime }v$ $-$ $u{v}^{\prime }$

继续阅读“用一个小技巧牢记求导公式 $(uv{)}^{\prime }$ $=$ $u^{\prime }v$ $+$ $u{v}^{\prime }$”

一、题目

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_x^{\prime }=?$$

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_y^{\prime }=?$$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

继续阅读“变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？”