标签： 考研数学二

一、题目

$$I={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\arctan x}{{(1+x^2)}^{5/2}}\mathrm{d}x=?$$

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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”

一、题目

已知 $C_1,C_2$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：

(A) $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=6{\mathrm{e}}^{-x}$

(B) $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6{\mathrm{e}}^{-x}$

(C) $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3x{\mathrm{e}}^{-x}$

(D) $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=3x{\mathrm{e}}^{-x}$

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继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”

一、题目

已知方程 $y^{\prime \prime }+qy=0$ 存在当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时趋于零的非零解, 则：

(A) $q>0$

(B) $q⩾0$

(C) $q<0$

(D) $q⩽0$

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继续阅读“判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论”

一、题目

由曲线 $y=\mathrm{ch}x=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？

难度评级：

继续阅读“求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？”

一、题目

若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收玫, 又 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}xf(x)=l$, 则

(A) $l>0$

(B) $l=0$

(C) $l<0$

(D) 以上均不对

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继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”

一、题目

若 $a>0,f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续, 并且当 $0⩽x⩽\frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 ${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

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继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”

一、题目

曲线 $y=(x+2){\mathrm{e}}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

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继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内可导, $x_0\ne 0,(x_0,f\left(x_0\right))$ 是 $y=f(x)$ 的拐点, 则：

(A) $x_0$ 必是 $f^{\prime }(x)$ 的驻点

(B) $(-x_0,-f\left(x_0\right))$ 必是 $y=-f(-x)$ 的拐点

(C) $(-x_0,-f(-x_0))$ 必是 $y=-f(x)$ 的拐点

(D) 对任意 $x>x_0$ 与 $x<x_0,y=f(x)$ 的凹凸性相反

难度评级：

继续阅读“拐点不一定是驻点”

一、题目

曲线 $y=2x-\sqrt{x^2-1}$ 的斜渐近线为（）

难度评级：

继续阅读“求解斜渐近线：原函数除以 x”

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime 2}={\arctan }^{2}x$, 则：

(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点

(C) $(0,y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点

(D) 以上均不对

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继续阅读“「零负」乘以「零负」得「零正」”

一、题目

已知 $f(x)=x\sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是：

(A) $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 是极小值

(B) $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 是极大值

(C) $f(0),f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 均是极大值

(D) $f(0),f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ 均是极小值

难度评级：

继续阅读“你会用一阶导还是二阶导判断极值点？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 点三阶可导, 且 $f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=0,f^{\prime \prime \prime }(a)>0$, 则：

(A) 函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f^{\prime }(a)$

(B) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极大值 $f(a)$

(C) 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 取到极小值 $f(a)$

(D) $(a,f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

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继续阅读“三阶导是一阶导的二阶导”

一、题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln x-x,& x⩾1\\ x^2-2x,& x<1\end{array}$, 则：

(A) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

(C) $(1,f(1))$ 是 $y=f(x)$ 拐点

(D) $(1,f(1))$ 不是 $y=f(x)$ 拐点

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继续阅读“成为拐点的本质要求是二阶导的正负性发生改变，而不是二阶导等于零”

一、题目

以下四个结论中正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 是偶函数, $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在,则 $f^{\prime }(0)$ 存在

(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 是偶函数, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点

(C) 设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 是奇函数, $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在, 则 $f^{\prime }(0)$ 存在

(D) 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 可导, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $(x_0,f\left(x_0\right))$ 处存在切线, 反之亦然

难度评级：

继续阅读“关于一点处导数存在和切线与导数之间关系的几个特例”