标签： 考研数学三

一、题目

下面的数项级数是收敛还是发散？

$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$

难度评级：

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：

$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

一、题目

计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:

$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$

难度评级：

一、题目

已知：

$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$

则：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$

Tip

$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$

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难度评级：

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：

$$
f^{(n)}(0) = ?
$$

难度评级：

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。