求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足 $y(1)$ $=$ $-2$ 的特解。
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解题思路简图锚点
graph TB A(判断方程类型) --> B(一阶齐次) --> C(构造出 y/x) --> D(代入条件求出待定常数) --> E(写出特解)继续阅读“求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{2xy – y^{2}}{x^{2} – 2xy}$ 满足指定条件的特解”
已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left(x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$, 求 $f(x)$ 的表达式。
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继续阅读“变限积分+微分方程：已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left( x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$ 求 $f(x)$”方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $+$ $1$ $+$ $\sin x$ 的特解形式为（ ）
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继续阅读“微分方程的解具有可加性”方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式是（ ）
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本题所用到的知识可以参考：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》
继续阅读“求解方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $2 y^{\prime}$ $=$ $x \mathrm{e}^{2 x}$ 特解的形式”具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）
继续阅读“求解具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程”$$
\int \frac{1+x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1-x}{1+x^{3}} \mathrm{d} x = ?
$$
这两个式子只相差了一个加减符号，但是计算得出的结果却有很大不同，因此，在求解数学题的时候，一定不能想当然的以为就该有什么样的结果——得出的任何结论都要建立在有效的定理和严格的推理之上。
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继续阅读“差之毫厘，谬以千里：$\int$ $\frac{1+x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $\frac{1-x}{1+x^{3}}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ？
$$
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继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？
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继续阅读“求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解”求解下面这个函数的全微分：
$$
z = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
$$
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继续阅读“求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分”$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$”已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 则：
$$
\int f(x) \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“巧用 $e^{x}$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^{x}}$ $\mathrm{d} x$”$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
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继续阅读“乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”