一、前言 
在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——
对于这类问题，我们有两种解决思路：
- 由已知式推导未知式；
- 由未知式反推已知式。
在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。
继续阅读“由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例”标签： 高等数学练习题
单调有界即收敛，设出极限求极限
一、题目
已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“单调有界即收敛，设出极限求极限”三种方法解一道数列极限题
一、题目
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三种方法解一道数列极限题”用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$
其中，$a > 0$.
难度评级：
继续阅读“用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题”看到无穷大，就要想转为无穷小：因为无穷小能用的解题工具更多
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“看到无穷大，就要想转为无穷小：因为无穷小能用的解题工具更多”指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“指数函数的增长速度远大于幂函数——你会区分指数函数和幂函数吗？”消根号的思路之“次幂归一”法
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“消根号的思路之“次幂归一”法”对涉及 cos x 的等价无穷小的解题方法总结
一、前言
本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。
难度评级：
继续阅读“对涉及 cos x 的等价无穷小的解题方法总结”变限积分积分中的不同变量该怎么对待？
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin(xt)}{t} \mathrm{d} t }{x^{2}} = ?
$$
难度评级：
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph TB A1(含有变限积分) A2(含有极限) A1 --> A11(x 在上下限中) A11 --> B1(将 x 视为常数) A1 --> A12(t 为积分变量) A12 --> B2(将 t 视为变量) B1 --> C1(要将常数移动到被积函数外部) B2 --> C2(明确变量的取值范围) C1 --> D1(进行变量替换) C2 --> D1 D1 --> E1(洛必达运算, 去除积分符号) A2 --> E1 E1 --> F1(舍去更小的无穷小) F1 --> G1(解出答案)继续阅读“变限积分积分中的不同变量该怎么对待？”
有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \big( \sqrt{x^{2} + x} – \sqrt{x^{2} – x} \big) = ?
$$
难度评级：
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph TB A(无理式) --> B(分子有理化) B --> C1(保留较大的无穷大) B --> C2(舍去较小的无穷小) C1 --> D(解出答案) C2 --> D继续阅读“有理化的两种计算方式：保无穷大或者舍无穷小”
两种方法计算：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $\sin \frac{2}{x}$ $+$ $\cos \frac{1}{x}$ $)^{x}$
一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \big( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \big)^{x} = ?
$$
难度评级：
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph TB A(求极限) --> B(幂指函数) A --> C(1 的无穷次幂) A --> D(等价无穷小) B --> E(规划解题方法) C --> E D --> E E --> F(1 的无穷次幂等于 e) E --> G(e 抬起)继续阅读“两种方法计算：$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $($ $\sin \frac{2}{x}$ $+$ $\cos \frac{1}{x}$ $)^{x}$”
多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例
一、题目
已知 $f(x + \frac{1}{x})$ $=$ $x^{2}$ $+$ $\frac{1}{x^{2}}$, 求解 $\lim_{x \rightarrow 3}$ $f(x)$.
难度评级：
继续阅读“多角度思考解题思路：以一道变量代换题目为例”$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少？
一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是（ ）
难度评级：
继续阅读“$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少？”微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？
一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是（ ）
难度评级：
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph TB A(判断方程类型) --> B(二阶非齐次) --> C(确定右端项的类型) --> D(求出特征值) D --> E(设出非齐次特解的形式) D --> F(设出齐次通解的形式) E --> G(确定能确定的系数) G --> H(非齐通=齐通+非齐特) F --> H继续阅读“微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y$ $=$ $\cos 2x$ 的通解是多少？”
求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$
一、题目
求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值 $y(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $4$, $y^{\prime \prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$.
难度评级：
解 题 思 路 简 图
解题思路简图锚点
graph TB A(判断方程类型) --> B(三阶常系数齐次) --> C(求出特征值) --> D(根据公式确定通解的形式) --> E(代入条件求出待定常数) --> F(写出特解)继续阅读“求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$”