一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，$x_{0} \in(a, b)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的间断点，则该间断点一定是什么类型的间断点？
难度评级：
继续阅读“连续函数的导数不一定连续：导函数的间断点只可能是震荡间断点”标签： 高等数学练习题
发散的反常积分不能比较大小：不能确定是否收敛的反常积分也不能比较大小
一、题目
已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x \neq 0$ 时，下面的说法中错误的是哪个或哪些？
[1]. $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$
[2]. $\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}} g(t) \mathrm{~d} t$
[3]. $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x<\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$
[4]. $\int_{0}^{x^{2}}|f(t)| \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}}|g(t)| \mathrm{~d} t$
难度评级：
继续阅读“发散的反常积分不能比较大小：不能确定是否收敛的反常积分也不能比较大小”二阶导不等于零意味着什么？
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连，在 $(a, b)$ 二阶可导，又 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime \prime}(x) \neq 0 \ [x \in(a, b)]$, 则下列说法中正确的是哪个？
[1]. 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) \neq 0$
[2]. 存在 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$, $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$
[3]. 存在唯一 $\xi \in(a, b), f^{\prime}(\xi)=0$
[4]. 至少存在一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)=0$
难度评级：
继续阅读“二阶导不等于零意味着什么？”判断一阶导的零点用 1 次罗尔定理，判断二阶导的零点用 2 次罗尔定理
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。
难度评级：
继续阅读“判断一阶导的零点用 1 次罗尔定理，判断二阶导的零点用 2 次罗尔定理”罗尔定理还可以用于判断函数零点的个数哦
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$, 则 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可能有多少个零点？
难度评级：
继续阅读“罗尔定理还可以用于判断函数零点的个数哦”罗尔配拉格：罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 二阶可导，且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b)$ 连续, $f_{+}^{\prime}(a)<0$, 则，是否 $\exists \ \xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)>0$ 成立？
难度评级：
继续阅读“罗尔配拉格：罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏”方程的根就是对应的函数的零点
一、题目
方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？
难度评级：
继续阅读“方程的根就是对应的函数的零点”再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数
一、题目
已知常数 $0<b<\frac{1}{\mathrm{e}}$, $f(x)=\ln x-x^{b}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内的零点个数是多少？
难度评级：
继续阅读“再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数”改变变量所用的表示符号不会改变函数本身
一、题目
已知 $f(x+y, x y)$ $=$ $x^{2}+y^{2}$, 则 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=?$
难度评级：
继续阅读“改变变量所用的表示符号不会改变函数本身”这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦
一、题目
$$
I=\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~ d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“这道题要用凑微分和分部积分：但是别着急上来就用哦”做这道关于 $e^{x}$ 的题目你会“卡住”吗？
定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+2 x+4 x^{2}}$, 则 $f^{(100)}(0)=?$
难度评级：
继续阅读“定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）”一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性
一、题目
已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？可导吗？
难度评级：
继续阅读“一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性”用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$.
请证明：存在 $\eta \in(1,2)$, 使 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}$ 成立。
难度评级：
继续阅读“用柯西中值定理的时候怎么在已知一个函数的情况下凑出来另一个函数？反推即可”证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~ d} t$
请证明：存在 $\xi \in(1,2)$, 使 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}$ 成立。
难度评级：
继续阅读“证明中值等式成立问题的两种思路：构造函数后用零点定理或罗尔定理”