高等数学练习题归档

一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x (x - 1) (2 - x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x \\ I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} d x \end{aligned}$

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峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

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一、题目

$\begin{aligned} I_{1} & = lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} {(1 + \frac{2}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{n}{n})}^{2}} \\ I_{2} & = lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} {(1 + \frac{2}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{n}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{2 n}{n})}^{2}} \end{aligned}$

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定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小

一、题目

使不等式 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} d t > \ln x$ 成立的 $x$ 的取值范围是多少？

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你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

一、题目

函数 $f (x)$ $=$ $\ln | (x - 1) (x - 2) (x - 3) |$ 有多少个驻点？

»A« $3$ .

»B« $2$ .

»C« $1$ .

»D« $0$ .

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微分中的一个定理： $d s = 1$

一、题目

已知函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续，则 $d [\int f (x) d x]$ $=$ $?$

»A« $f (x)$ .

»B« $f (x) d x$ .

»C« $f^{'} (x) d x$ .

»D« $f (x) d x + C$ .

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乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1 - \cos x}$ $=$ $- 16$ , 则在点 $x = 0$ 处 $f (x)$ ( )

»A« 取得极大值.

»C« 不可导.

»B« 取得极小值.

»D« 可导，且 $f^{'} (0) \neq 0$ .

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在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

一、题目

$I = lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^{x}} - \frac{x}{e}] = ?$

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求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

若函数 $f (x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时， $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)} (x)$ $=$ $?$

»A« $n! f^{2 n} (x)$

»B« $n! f^{n + 1} (x)$

»C« $n f^{2 n} (x)$

»D« $n f^{n + 1} (x)$

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对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目

$\begin{aligned} I_{1} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \cos (β x) d x = ? \\ I_{2} & = \int_{0}^{\infty} e^{- α x} \cdot \sin (β x) d x = ? \end{aligned}$

其中， $α > 0$ .

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扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \to + \infty$ , 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

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相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k + 1)!} = ?$

难度评级：

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“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

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这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目

下面的极限中，结论正确的是哪个？

»A« $lim_{x \to 0} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $e$

»B« $lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $1$

»C« $lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{- x}$ $=$ $e$

»D« $lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}$ $=$ $- e$

难度评级：

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标签：高等数学练习题

曲线与 X 轴所围图形的面积怎么算？积分+绝对值

一、题目

在极限计算中使用反常积分的上下限时，一定要注意区分左右

一、题目

峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言

用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？

一、题目

定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小

一、题目

你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

一、题目

微分中的一个定理： $d s = 1$

一、题目

乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

一、题目

求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目

扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

相邻展开式可抵消一般发生在含有递进关系的求和中

一、题目

“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目