极限不怕“无穷小”,但是极限怕“有限小”

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

“无穷小”和“有限小”

量不可数,例如,当 $x \rightarrow \infty$ 的时候,$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量,我们也可以将无穷小理解为“无限小”;

量可数,例如,无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字,但他们都是可数的,都是一个确定的量。

加上或者减去一个 量不会对原有的数值产生影响:

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个 量会对原有的数值产生影响:

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后,求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到,无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时,也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时,都有:

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说,当 $n \rightarrow \infty$ 时:

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知:

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知,C

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数,但是,由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知:

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且:

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时,也就是 $n \rightarrow \infty$ 时,上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立,并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值,所以下式一定成立:

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即:

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

综上可知,C


荒原之梦考研数学思维导图
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解决无穷小量取舍问题的一个思路:让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言 前言 - 荒原之梦

在解决含有无穷小量问题的时候,我们常常需要面对的问题就是:

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中?什么时候又该将无穷小量舍去?

在本文中,「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象,为同学们讲明白,如何通过让大的无穷小更大,让小的无穷小更小的“分化融合”方法,来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

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没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限:

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$

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复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z \mathrm{e}^{y}$, 取 $u$, $v$ 为新自变量,$w$ $=$ $w(u, v)$ 为新函数,请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式:

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2 } z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z
$$

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计算含有“表述环路”的式子,首先需要“打破环路”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续,在开区间 $(0,1)$ 内可导,且:

$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$

其中常数 $k>1$.

请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立:

$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$

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导数等于原函数的“平移”:这样的函数一般都由三角函数构成

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 二阶可导,且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则:

$$
f(x) = ?
$$

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利用导数的定义求解式子的极限

一、题目题目 - 荒原之梦

请求解下面式子的极限:

$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$

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平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系

一、题目题目 - 荒原之梦

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在,并求解其极限:

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

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