一、题目
$$
I = \int \frac{x \tan x}{\cos ^{ 4 } x} \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路”标签： 高等数学练习题
微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题
一、题目
已知有一个长度为 $10$ 米的梯子斜靠在垂直于地面的墙壁上，在 $t = 0$ 的时刻，这个梯子的最底端开始沿着水平的地面以 $2$ 米每秒的速度匀速向远离墙面的方向滑动，则在哪个时刻，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2$ 米每秒？
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继续阅读“微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题”分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移
一、题目
$$
I = \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } = ?
$$
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继续阅读“分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移”怎么判断要寻找逆矩阵呢？
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 均为 $n$ 阶矩阵，$\boldsymbol { E }$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$ $+$ $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { C A }$, 则：
$$
\boldsymbol { B } – \boldsymbol { C } = ?
$$
(A) $- \boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { A }$
(D) $- \boldsymbol { A }$
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继续阅读“怎么判断要寻找逆矩阵呢？”对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则下面的逆矩阵等于多少：
$$
\left( \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \right) ^ { – 1 }
$$
(A) $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$
(B) $\boldsymbol { A } ( \boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B } ) ^ { – 1 } \boldsymbol { B }$
(C) $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$
(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$
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继续阅读“对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法””由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上都是可导函数，且 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 则下面说法一定正确的是哪个？
(A) $f ( – x )$ $>$ $g ( – x )$
(B) $f ^ { \prime } ( x )$ $<$ $g ^ { \prime } ( x )$
(C) $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $<$ $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$
(D) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ $<$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$
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继续阅读“由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性”对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图
一、题目
如果要使积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 收敛，则 $p$ 需要满足以下哪个条件？
(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$
(C). $p$ $\leqslant$ $0$
(B). $1$ $\leqslant$ $p$ $\leqslant 2$
(D). $p$ $<$ $-1$
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继续阅读“对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图”趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况
一、题目
下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$
其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$
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继续阅读“趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况”趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况
一、题目
$$
I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$
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继续阅读“趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况”构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量
一、题目
已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：
$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量”有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理
一、题目
已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理”做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：
$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$
Note
关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com
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继续阅读“做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势”看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
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继续阅读“看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法”这道题该提取 x 还是 -x 呢？
一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$
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继续阅读“这道题该提取 x 还是 -x 呢？”如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号
一、题目
已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：
$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$
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继续阅读“如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号”