应用罗尔定理的特征:闭区间连续、开区间可导、端点值相等

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内可导,且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.

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凑微分的特征:被积函数中的两部分是导数和原函数的关系

一、前言 前言 - 荒原之梦

在被积函数中,如果我们能找到两部分式子 “$\square$” 和 “$\triangle$” 是导数和原函数的关系,例如:

$$
(\square)^{\prime} = \triangle
$$

则可凑微分为:

$$
\int \square \cdot \triangle \mathrm{~d} x = \int \square \mathrm{~d} (\square)
$$

在本文中,荒原之梦考研数学网将通过几个例题演示上面的凑微分方法。

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幂函数凑微分的标志:次幂相差 1

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,荒原之梦考研数学网将给出几道涉及幂函数凑微分的题目及解析——

对于这类题目,判断能否尝试凑微分的一个关键“标志性信号”就是观察被积函数中是否存在次幂相差 $1$ 的部分。

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导数不存在不一定没有切线:导数不能以极限的形式存在,但是切线可以以极限的形式存在

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则:

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(C) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 不存在切线

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

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震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}|x|^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 若:

(I) $f(x)$ 为连续函数;

(II) $f(x)$ 为可导函数;

(III) $f(x)$ 为连续可导函数,

则参数 $a$ 必须分别满足:

(A) ( I ) $a>0$; ( II ) $a>1$; ( III ) $a>2$

(B) ( I ) $a>1$; ( II ) $a>2$; ( III) $a>3$

(C) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 1$; ( III ) $a \geqslant 2$

(D) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 2$; ( III ) $a \geqslant 3$

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