标签： 高等数学练习题

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

继续阅读“求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数”

一、题目

已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.

继续阅读“分段函数的偏导数要分段求解”

一、前言

在计算式子极限的时候，对于形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 这样的式子，我们一般都可以先尝试对其取自然对数 $\ln$, 因为这样可以将形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 极限，转换为形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 或者 $\frac{0}{0}$ 的极限，从而就可以使用洛必达法则，或者其他求解极限的方式完成接下来的求解过程.

继续阅读“次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数”

一、前言

在对多元函数求偏导数的时候，一般情况下，我们可以将除了被求偏导数的变量之外的其他变量的值先代入原式中（如果这些变量有具体的数值或者关系式的话），这在通常情况下都可以降低我们求偏导的运算量.

在本文中，我们就通过两道例题，来看一看提前代入与求偏导无关的变量与否对计算难易程度的影响.

继续阅读“求解多元函数中某个变量的偏导数时，最好先将其他变量的已知值代入原式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目给同学们展示一下如何将“求和”转为“积分”，内容涵盖考研数学中常考的一重求和转一重积分，以及二重求和转二重积分.

继续阅读“单重求和转一重积分，双重求和转二重积分”

一、题目

继续阅读“两个收敛的级数逐项交替合并（隔项合并）后得到的级数也收敛”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

继续阅读“提取公因式的时候别被根号迷惑了”

一、题目

已知 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^{3}} = 0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 + f(x)}{x^{2}} = ?$

继续阅读“借助极限与无穷小的关系求解极限”

一、题目

已知 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) \sin \frac{n \pi}{2}$, 请证明数列 ${ a_{n} }$ 没有极限（发散）.

继续阅读“要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍”

一、前言

一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。

继续阅读“在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分”

一、题目

利用代换 $x = \cos t$ $(0 < t < \pi)$ 将原微分方程 $(1-x^{2})y^{\prime \prime} – xy^{\prime} +y = 0$ 化简，并求出该微分方程满足 $y(0) = 1$, $y^{\prime}(0) = 2$ 的特解.

Tip

拓展 1：《通过代换简化微分方程：函数代换》
拓展 2：《一点处函数值的多种表示形式》

zhaokaifeng.com

继续阅读“通过代换简化微分方程：自变量代换”

一、题目

利用代换 $y$ $=$ $\frac{u}{\cos x}$ 将原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 化简，并求出原方程的通解 $y(x)$.

继续阅读“通过代换简化微分方程：函数代换”

一、前言

已知：

$$
\begin{aligned}
Z_{1}(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \\
Z_{2}(x) & = f(x) \cdot g(x – k)
\end{aligned}
$$

其中，$x$ 为函数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $f$ 和 $g$ 的自变量，$k$ 为任意实数.

从上面的式子可知，函数 $g(x – k)$ 是函数 $g(x)$ 沿着坐标轴的 $X$ 轴向左或者向右平移 $k$ 个单位的结果.

那么，在什么条件下，函数 $Z_{1}(x)$ 和函数 $Z_{2}(x)$ 会相等呢？

继续阅读“两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析”

一、题目

继续阅读“由变限积分得来的微分方程一般存在隐含的初值”

一、题目

»A« 偶函数

»B« 奇函数

»C« 非奇非偶函数

»D« 不能确定

二、解析

首先，由 $f(x+y)$ $=$ $f(x) + f(y)$, 可得：

$$
\begin{aligned}
& f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) = 2f(0) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(0) = 0 }
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
& 0 = f(0) = f(x-x) = f[x+(-x)] = f(x) + f(-x) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(-x) = -f(x) }
\end{aligned}
$$

综上可知，$f(x)$ 是奇函数，本题应选 »B«.

---