高等数学基础归档 - 第14页共54页

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 为特征方程的 $k$ 重共轭复根时（B030）

问题

若 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 为$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重共轭复根，且 $($ $2 k$ $\leqslant$ $n$ $)$, 则，该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容？

选项

[A]. $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

[B]. $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$

[C]. $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $x$ $+$ $D_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

[D]. $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$

答案

$\mathrm{e}^{\alpha x}$ $[$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\cos \beta x$ $+$ $($ $D_{1}$ $+$ $D_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $D_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\sin \beta x$ $]$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当 $\lambda_{0}$ 为特征方程的 $k$ 重实根时（B030）

问题

若 $\lambda_{0}$ 为 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的 $k$ 重实根，其中 $($ $k$ $\leqslant$ $n$ $)$, 则，该微分方程通解中会含有以下哪个选项中的内容？

选项

[A]. $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[B]. $($ $C_{1}$ $\cdot$ $C_{2}$ $x$ $\cdot$ $\cdots$ $\cdot$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[C]. $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

[D]. $\frac{1}{\lambda_{0}}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

答案

$($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{k}$ $x^{k-1}$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{0} x}$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的通解：当有 $n$ 个不同的实根时（B030）

问题

若 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有 $n$ 个不同的实根 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\cdots$, $\lambda_{n}$, 则，该微分方程的通解 $y$ $=$ $?$

选项

[A]. $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{1}}}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{2}}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{\lambda_{n}}}$

[B]. $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $-$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $-$ $\cdots$ $-$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

[C]. $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{x}$

[D]. $y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

答案

$y$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{n} x}$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的一般形式（B030）

问题

已知 $p_{i}$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数，且，$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：
$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$.

则，关于该方程对应的特征方程的一般形式，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A]. $\lambda^{n}$ $+$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\lambda$ $=$ $0$

[B]. $\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $1$

[C]. $\lambda^{n}$ $-$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $-$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $-$ $\cdots$ $-$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $-$ $p_{n}$ $=$ $0$

[D]. $\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$

答案

$\lambda^{n}$ $+$ $p_{1}$ $\lambda^{n-1}$ $+$ $p_{2}$ $\lambda^{n-2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $\lambda$ $+$ $p_{n}$ $=$ $0$

$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式（B030）

问题

已知 $p_{i}$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $)$ 为常数，则，关于 $n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A]. $P_{1}$ $y^{(n)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{3}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n+1}$ $y$ $=$ $0$

[B]. $y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $1$

[C]. $y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$

[D]. $y^{(n+1)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-2}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n-1}$ $y$ $=$ $0$

答案

$y^{(n)}$ $+$ $p_{1}$ $y^{(n-1)}$ $+$ $p_{2}$ $y^{(n-2)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $p_{n-1}$ $y^{\prime}$ $+$ $p_{n}$ $y$ $=$ $0$

二阶欧拉方程的计算

问题描述

已知，有二阶欧拉方程：

$$
x^{2} y^{\prime \prime} + a x y^{\prime} + b y = f(x)
$$

继续阅读

二阶欧拉方程的构型（B029）

问题

已知 $a$ 和 $b$ 为常数，则以下方程中，哪个是二阶欧拉方程？

选项

[A]. $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[B]. $x^{3}$ $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $a$ $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[C]. $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[D]. $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x)$

答案

$x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D]. $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根，$k$ $=$ $1$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B]. $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C]. $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D]. $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根，$k$ $=$ $0$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式，$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $a$ 是特征方程的重根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B]. $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C]. $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $a$ 是特征方程的单根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的单根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C]. $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D]. $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $a$ 不是特征根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 不是特征根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B]. $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C]. $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D]. $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{a}}$

答案

$y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的通解（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

又已知：
1. 该方程对应的齐次方程的通解为 $Y(x)$;
2. 用待定系数法求出的该非齐次方程的特解为 $y^{*}(x)$.

则，该非齐次方程的通解为多少？

选项

[A]. $Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

[B]. $\frac{Y(x)}{y^{*}(x)}$

[C]. $Y(x)$ $\times$ $y^{*}(x)$

[D]. $Y(x)$ $-$ $y^{*}(x)$

答案

$Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

二阶常系数线性齐次微分方程的通解：$\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

对应的特征方程为：

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则，当上述特征方程的根 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时，该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A]. $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[B]. $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

[C]. $y(x)$ $=$ $\beta$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos x$ $+$ $C_{2}$ $\sin x$ $)$

[D]. $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

答案

$y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性齐次微分方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中，$p$, $q$ 均为常数.

则，该方程的特征方程是多少？

选项

[A]. $\lambda^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[B]. $\lambda^{2}$ $+$ $\lambda$ $+$ $=$ $0$

[C]. $\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[D]. $\frac{1}{\lambda^{2}}$ $+$ $p$ $\frac{1}{\lambda}$ $+$ $q$ $=$ $0$

答案

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$