高等数学基础归档 - 第14页共56页

用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

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异曲同工： $1$ $+$ $\tan^{2} α$ 与 $(\tan α)^{'}$

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$

$(\tan α)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} α}$

即：

$1 + \tan^{2} α = (\tan α)^{'}$

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用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{'}$ $=$ $u^{'} v$ $+$ $u v^{'}$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u (x)$ , $v$ $=$ $v (x)$ , 则针对 $(u v)^{'}$ 的求导计算公式如下：

$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{'}$ 到底是等于 $u^{'} v$ $+$ $u v^{'}$ 还是等于 $u^{'} v$ $-$ $u v^{'}$

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变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？

一、题目

$[\int_{x}^{y} f (x + y - t) d t]_{x}^{'} = ?$

$[\int_{x}^{y} f (x + y - t) d t]_{y}^{'} = ?$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

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一个复合函数求二阶偏导的例题： $u (x, y)$ $=$ $u (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

一、题目

已知，有 $u (x, y)$ $=$ $u (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ , $r$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $>$ $0$ .

并且已知函数 $u (x, y)$ 有二阶连续的偏导数，要求计算：

$\frac{\partial u}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 、 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 、 $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ .

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$\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少？

一、题目

$\sin [2 \arcsin y]$ $=$ $?$

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$\cos (\arcsin y)$ 等于多少？

一、题目

$\cos (\arcsin y) = ?$

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计算不定积分 $\int$ $\cos^{2} t$ $d t$

一、题目

$\int \cos^{2} t d t = ?$

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如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $d x$

一、题目

已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：

$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x$

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为什么 $\sqrt{1 + x}$ $-$ $\sqrt{1 - x}$ $\sim$ $x$ ?

已知，当 $x$ $\to$ $0$ 时：

$(1 + x)^{a} - 1 \sim a x$

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一阶常系数非齐次线性差分方程的特解： $f (t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m} (t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $=$ $0$ （B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：

y_{t + 1}

+

a

y_{t}

=

f (t)

其中，非齐次项 $f (t)$ $=$ $f (t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m} (t)$ , 其中， $d$ 为非零常数， $P_{m} (t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且： $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$ .

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

y_{t}^{*}

=

\frac{1}{t}

\cdot

d^{t}

\cdot

Q_{m} (t)

[B].

y_{t}^{*}

=

d^{t}

\cdot

Q_{m} (t)

[C].

y_{t}^{*}

=

t

\cdot

d^{t}

\cdot

Q_{m} (t)

[D].

y_{t}^{*}

=

t

\cdot

Q_{m} (t)

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m} (t)$

其中， $Q_{m} (t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$ , 其中 $B_{0}$ , $B_{1}$ , $\dots$ , $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解： $f (t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m} (t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$ （B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：

y_{t + 1}

+

a

y_{t}

=

f (t)

其中，非齐次项 $f (t)$ $=$ $f (t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m} (t)$ , 其中， $d$ 为非零常数， $P_{m} (t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且： $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$ .

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

[B].

y_{t}^{*}

=

\frac{1}{t}

\cdot

Q_{m} (t)

[C].

y_{t}^{*}

=

t

\cdot

Q_{m} (t)

[D].

y_{t}^{*}

=

d^{t}

\cdot

Q_{m} (t)

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m} (t)$

其中， $Q_{m} (t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$ , 其中 $B_{0}$ , $B_{1}$ , $\dots$ , $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解： $f (t)$ $=$ $P_{m} (t)$ 且 $a$ $=$ $- 1$ （B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：

y_{t + 1}

+

a

y_{t}

=

f (t)

其中，非齐次项 $f (t)$ $=$ $P_{m} (t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且： $a$ $=$ $- 1$ .

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

y_{t}^{*}

=

t

[B].

y_{t}^{*}

=

\frac{1}{t}

Q_{m} (t)

[C].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

[D].

y_{t}^{*}

=

t

Q_{m} (t)

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m} (t)$

其中， $Q_{m} (t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$ , 其中 $B_{0}$ , $B_{1}$ , $\dots$ , $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解： $f (t)$ $=$ $P_{m} (t)$ 且 $a$ $\neq$ $- 1$ （B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：

y_{t + 1}

+

a

y_{t}

=

f (t)

其中，非齐次项 $f (t)$ $=$ $P_{m} (t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且： $a$ $\neq$ $- 1$ .

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

=

B_{0}

+

B_{1}

+

\dots

+

B_{m}

[B].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

=

B_{1}

t

+

\dots

+

B_{m}

t^{m}

[C].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

=

B_{0}

+

B_{1}

t

+

\dots

+

B_{m}

t^{m}

[D].

y_{t}^{*}

=

Q_{m} (t)

=

B_{0}

t

+

B_{1}

t^{2}

t

+

\dots

+

B_{m}

t^{m + 1}

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m} (t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\dots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$ , 其中 $B_{0}$ , $B_{1}$ , $\dots$ , $B_{m}$ 为待定常数.

齐次差分方程通解的形式（B032）

问题

已知，

C

为任意常数，则以下哪个是齐次差分方程通解的形式？

选项

[A].

y_{C} (t)

=

C

\cdot

(- a)^{t}

[B].

y_{C} (t)

=

(- a)^{t}

+

C

[C].

y_{C} (t)

=

C

\cdot

(a)^{t + 1}

[D].

y_{C} (t)

=

C

\cdot

(a)^{t}

答案

$y_{C} (t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(- a)^{t}$