考研数学二 – 第 62 页

向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关

一、题目

下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？

(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$

(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$

(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$

(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$

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一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关, $\boldsymbol{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$. 则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=?$

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一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 1 & -1 & a \\\ 2 & 3 & a & 4 \\\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$, 则 $a=?$

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你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分必要条件吗？

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又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{A^{*}}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$

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两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 那么：

若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;

若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$.

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这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式

一、题目

已知 $a$ 是任意常数, 下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是哪一个矩阵？

(A) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$

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根据矩阵秩的定义，可以推导出哪些结论？

一、题目

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则意味着什么？

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“秩”小于“阶”，则行列式的值等于零

一、题目

若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$, 且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

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乘以一个常数对逆矩阵的影响是什么？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为三阶可逆矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第一行乘以 $-2$ 得到矩阵 $\mathbf{B}$, 则能得出什么结论？

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你会进行矩阵的“逆初等变换”吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的 $1$, $2$ 两行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 第三列的 $-2$ 倍加到第一列得到单位矩阵, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+2 a_{11} & a_{32}+2 a_{12} & a_{33}+2 a_{13}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{3}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]$, 则如何使用 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{P_{1}}$, $\boldsymbol{P_{2}}$ 或 $\boldsymbol{P_{3}}$ 表示 $\boldsymbol{B}$ $?$

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“左行右列”原则怎么用？看这道题就行了

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}=?$

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