考研数学二 – 第 33 页 – 荒原之梦

交换一次行或者列的位置，行列式的值就要变一次正负号

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 均为四维列向量, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right|=a$, $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right|=b$, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}\right|=?$

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加加减减之后，矩阵 A 还是原来的“自己”吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵, 则下列行列式中等于 $|\boldsymbol{A}|$ 的是哪个？

(A) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$

(B) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}\right|$

(C) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$

(D) $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right|$

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这里的矩阵 B 可以由矩阵 A 变过来，你看出来了吗？

一、题目

已知，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为三维列向量,矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right], \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 3 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right]$, 若行列式 $|\boldsymbol{A}|=2$, 则行列式 $|\boldsymbol{B}|=?$

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副对角线不全为零的四阶行列式怎么求？

一、题目

下列行列式中, 行列式的值不等于 $24$ 的是哪个？

(A) $\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right|$

(B) $\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$

(C) $\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$

(D) $\left|\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\end{array}\right|$

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对代数余子式之和的求解可以转换为对行列式的求解

一、题目

已知，行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和等于多少？

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这个四阶行列式千万不要展开求解

一、题目

已知，多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 2 & x & 3 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ x & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^{4}$ 与 $x^{3}$ 的系数依次为：

(A) $-1,-1$
(B) $1,-1$
(C) $-1,1$
(D) 1,1

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线性相关的向量组成的行列式一定等于零

题目 01

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+1,1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a,-2,2-a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a-1,-3,4-a)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关, 则 $a=?$

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当一个矩阵和不可逆矩阵相乘，怎么求解这个未知矩阵？

一、题目

已知 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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做这道题不需要事先知道待求解的矩阵是几行几列

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{\top}}$ 且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1)^{\mathrm{\top}}, A \boldsymbol{\alpha}_{2}=$ $(-1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,-4)^{\mathrm{\top}}$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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不要被这道题题目中所用的变量名迷惑了哦

一、题目

已知 $A, B$ 都是不等于零的常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解：

(A) $y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(B) $y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
(C) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$
(D) $y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$

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右端项为三角函数的二阶微分方程的特解你会求解吗？

一、题目

荒原之梦考研数学

若 $A, B$ 为非零常数, $k$ 为常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式：

[A] $A \sin x+B \cos x$

[B] $A x \cos x$

[C] $A x \sin x$

[D] $A x \sin x+B x \cos x$

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只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解

一、题目

已知 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是：

(A) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(B) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(C) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
(D) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$

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只有齐次线性方程组的解相减得到的解才一定是新的解

一、题目

已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为：

(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$

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不连续的函数可能有导数，但只有连续的函数才会一定有原函数

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}\right.$, $\quad g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 则在区间 $(-1,1)$ 上

(A) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
(B) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
(C) $f(x)$ 不存在原函数, $g(x)$ 存在原函数
(D) $f(x)$ 存在原函数, $g(x)$ 不存在原函数

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具有周期性并不意味着周期上的积分就一定等于零

一、题目

函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

(A) 一定为正数

(B) 一定为负数

(C) 恒为零

(D) 不是常数

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