看清楚，这里说的不是原矩阵而是转置矩阵！

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置, 若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta_{t}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系, 则秩 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级：

二、解析

由于 A 是 $m \times n$ 阶矩阵，因此说明在 $Ax = 0$ 中存在 $n$ 个未知数，如果此时基础解系中解向量的个数为 $t$, 则表名存在 $t$ 个自由未知数，$n – t$ 个非自由未知数，也即表名：

$$
r(A) = n – t
$$

但是，本题说的是 $A^{\top} x = 0$ 有 $t$ 个解向量，因此：

$$
r(A^{\top}) = m – t
$$

又因为：

$$
r(A) = r(A^{\top})
$$

于是：

$$
r(A) = m – t
$$

注意：
§ 基础解系中解向量的个数取决于自由未知数的个数；
§ 系数矩阵秩的值取决于非自由未知数的个数；
§ 自由未知数的个数加上非自由未知数的个数等于方程组未知数的个数。

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