考研数学二归档 - 第3页共141页

一、前言

取对数的作用：压缩数值、变非线性为线性 | 「荒原之梦考研数学」 | 图 01. — 图 01. 朱诺号木星探测器携带物品之一：意大利太空署提供的伽利略铝质纪念牌（宽 2.8 英寸，高 2 英寸，重 6 克）。该纪念碑镌刻有伽利略的自画像，以及他于 1610 年发现木星卫星的亲笔记录字迹。来源：wikipedia.org

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”，同时，在我们学习数学或者使用数学的时候，也常常会遇到“对数”。

但是，取对数到底有什么用呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值，或者说，对数可以反应较大数字的“量级”。

例如，对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字，如果要比较这样的数字的大小，或者将其绘制在坐标图上，都不是很好表示，但如果我们对其取对数，就可以在减少这样的差异，并且不改变原有的大小关系（因为对数函数是一个单调递增的函数，可以保留原有的相对大小关系）：

$\log_{10}^{123456} ≃ 5.0915$

$\log_{10}^{654321} ≃ 5.8158$

在上面做数值压缩的过程中，我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”，因为常用的数字就是十进制的，用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级（一个“量级”就是十进制的一个“位”，即千位、百位和十位等），例如：

$\log_{10}^{6 \times 10^{8}} ≃ 8 .7782$

$\log_{10}^{9 \times 10^{8}} ≃ 8 .9542$

$\log_{10}^{2 \times 10^{9}} ≃ 9 .3010$

当然，用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小，但不能反映出十进制数字原本的量级：

$\log_{e}^{6 \times 10^{8}} ≃ 20 .2124$

$\log_{e}^{9 \times 10^{8}} ≃ 20 .6179$

$\log_{e}^{2 \times 10^{9}} ≃ 21 .4164$

Note

在实际应用中，至少下面的数值或者表示方法都使用了对数：
⁕ 里氏地震震级（用于描述地震烈度）
⁕ 分贝（用于音量）
⁕ 奈培（用于电功率）
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等（用于音乐中的相对音高）
⁕ Logit（用于统计学的发生比）
⁕ 巴勒莫撞击危险指数（用于表示近地天体撞击地球的危险几率）
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比（用于计算摄影中的曝光量）
⁕ 熵（用于热力学）
⁕ 信息（用于信息论）
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图（用于表示星体之间的相对位置）
⁕ 能量密度（用于铀和化石燃料能量密度的比较）
⁕ pH 值（用于表示酸性）
⁕ 视星（用于表示恒星亮度）
⁕ 克伦宾尺度（用于地质学中表示粒径）
⁕ 吸光度（用于描述物体的透光性能）
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变非线性为线性

此外，取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如，当 $Z$ 为变量， $n$ 为常数的时候，” $Z^{n}$ ” 不是一个线性表达式，但是，对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “ $n \log Z$ ”:

$\log Z^{n} = n \log Z$

同样的，当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候，” $x y$ ” 不是一个线性表达式，但是对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “ $\log x$ $+$ $\log y$ ”:

$\log (x y) = \log x + \log y$

线性表达式在计算上更加简单，在人工智能领域有着广泛且深入的应用。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

一、前言

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $B$ $=$ $C D$ , 则：

$\begin{aligned} (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} \\ \Rightarrow & [A (C D)]^{⊤} = (C D)^{⊤} A^{⊤} \\ \Rightarrow & [A C D]^{⊤} = D^{⊤} C^{⊤} A^{⊤} \end{aligned}$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

Note

作为对比，可以发现，用传统数学方法完成的证明过程会显得较为繁琐：链接 1、链接 2.
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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$

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一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

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对抽象矩阵/行列式的计算，要尽可能“拖延”代入具体数值的时间

一、题目

已知 $A$ , $B$ 是三阶方阵，且满足等式 $A^{2} B$ $-$ $A$ $-$ $B$ $=$ $E$ , 若 $A$ $=$ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{matrix}]$ , 则：

$| \begin{matrix} B \end{matrix} | = ?$

难度评级：

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一、前言

在「荒原之梦考研数学」的另一篇文章《矩阵/行列式的一个优化策略》中，我们首次提出了在包含多个 $0$ 元素的矩阵/行列式中的一个优化策略，那么，如果初始的矩阵/行列式中没有 $0$ 元素，或者只有少量的 $0$ 元素该怎么办呢？

在本文中，我们将以矩阵/行列式的主对角线为基准，通过元素复杂度梯度排列的方式，给同学们提供一种适用性更广泛的矩阵/行列式化简的方法。

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一、题目

已知 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ , 并且 $K \neq 0$ , 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K - \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $| A_{n} |$ $>$ $\frac{| K |}{2}$

⟨D⟩» $| A_{n} |$ $<$ $\frac{| K |}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \to \infty$ 的时候， $\frac{1}{x}$ , $\frac{2}{x}$ , $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{100}$ , 还是 $\frac{1}{9999999}$ , 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$1 + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \neq 1$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$ , 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \to \infty$ 时，都有：

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

也就是说，当 $n \to \infty$ 时：

$K + \frac{1}{n} = K - \frac{1}{n} = K$

又由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$\begin{aligned} A_{n} & = K + \frac{1}{n} ✓ \\ A_{n} & = K - \frac{1}{n} ✓ \end{aligned}$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K + \frac{2}{n}) > (K + \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} > (K + \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} < (K + \frac{1}{n}) \end{aligned}$

类似的，当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K - \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K - \frac{2}{n}) < (K - \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} < (K - \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} > (K - \frac{1}{n}) \end{aligned}$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0 \end{matrix}$

且：

$\frac{| K |}{2} > 0$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \to \infty$ 时，上面的 $(1)$ 式一定成立，并且 $\frac{| K |}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$| K | > \frac{| K |}{2}$

即：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | > \frac{| K |}{2}$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0$

于是，根据极限的定义可知，若令 $ξ = \frac{| K |}{2}$ , 则一定存在正整数 $N$ , 使得当 $n > N$ 时，有：

$\begin{aligned} (| | A_{n} | - | K | |) < (ξ = \frac{∣ K ∣}{2}) \\ \Rightarrow & | | A_{n} | - | K | | < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{- | K |}{2} < (| A_{n} | - | K |) < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < \frac{3 | K |}{2} \\ \Rightarrow & | A_{n} | < | K | \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < | K | ✓ \end{aligned}$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$ , $ξ$ $\in$ $(0, | K |)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$| A_{n} | > k | K |$

综上可知，C 选项正确。

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

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让考场上没有难做的数学题！

投石问路：线性代数中的升阶法详解

一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n + 1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

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矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言

大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$ ”）。

那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

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二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

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对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行

一、题目

已知：
$\begin{aligned} D & = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | \\ D_{1} & = | \begin{array}{c} 2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\ 2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\ 2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33} \end{array} | \end{aligned}$