考研数学三 – 荒原之梦

一、前言

函数可以表示成函数表达式，也可以表示成函数图象，甚至也可以用一系列的坐标点表示（几乎所有的计算机绘图使用的都是这种方式）——

我们知道，函数图象和函数的点阵坐标都只是对函数的近似表示，严格地说，无论函数图象，还是函数的点阵坐标，都不是函数本身.

那么，函数的表达式和函数是完全等价的关系吗？

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将提供几个用积分的方式等价改写反三角函数和对数函数的公式，并用图文结合的方式做以解释.

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一、题目

已知 $a > 0$, $b > 0$ 满足 $a + 2b = 1$. 请求解 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ 的最小值.

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一、前言

对公式做类推，通常可以让我们借助一个较简单的公式，直接得到一个较复杂的公式，并且不需要经过太多的推理过程.

在对公式做类推的时候，往往只能考虑一个变量，如果考虑两个及以上的变量，则会让整个类推的过程变得很复杂. 所以，在对公式做类推的时候，一定要注意识别类推得出的式子与之前的式子相比，是不是只有一个变量发生变化.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过 $\ln x$ 和 $\ln (1-x)$ 的多阶导表达式的类推，来阐述上面的问题.

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一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$, 单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 则：

$$
\begin{vmatrix} \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}^{2} \end{vmatrix} = ?
$$

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一、前言

在本文中，我们来看一看矩阵的不同运算会导致矩阵的特征值对应发生什么样的变化.

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一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ 与 $\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y \end{bmatrix}$ 相似.

(I) 求 $x$, $y$；

(II) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}$.

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矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？

一、前言

在《求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤》这篇文章中，我们知道了求解矩阵相似对角化 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$ 中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过对这一步骤必要性和充分性的分析，来说明为什么矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化中的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量组成的.

在本文中，我们用 $\boldsymbol{\Lambda}$ 表示对角矩阵.

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从矩阵的特征值、特征向量与相似对角化的定义出发，为同学们讲解清楚求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.

有关这一步骤正确性的证明，可以查阅《矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？》这篇文章.

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一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶的单位矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$, 则下面的选项中，正确的是哪一个？

⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.

⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.

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峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质

一、前言
二、正文
§2.1 折线形矩阵的定义
§2.1.1 稳态矩阵
§2.1.2 折线形矩阵
§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定
§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化
§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图
§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图
§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质
§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质
三、总结

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将通过定义折线形矩阵的方式，将矩阵的秩几何化，并通过推导得到的几何化视角，在矩阵乘法运算过程中，观察矩阵秩的变化.

什么是“峰式图”：
峰式图指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰式图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

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一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：

两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.

而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.

二、正文

在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.

方法 1：定义法

根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$

因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$

方法 2：伴随矩阵法

根据伴随矩阵的定义，我们知道：

$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$

于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$

方法 3：分块矩阵法

对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$

有关分块矩阵的更多运算性质，可以查阅这篇文章.

方法 4：初等变换法

根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$

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有关自然常数 e 极限公式的两个常见变形

已知公式

对于自然常数 $\mathrm{e}$, 我们有：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}
$$

变形一

题目

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} = ?
$$

解析

$$
\begin{aligned}
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} & = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$

变形二

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = ?
$$

解析

首先，令 $y = (ax)^{-1}$, 即：

$$
ax = \frac{1}{y}, \ x = \frac{1}{ay}, \ y \rightarrow \infty
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} & = \lim_{y \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{ay} \\ \\
& = \lim_{y \rightarrow \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y} \right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$