考研数学一 – 第 10 页 – 荒原之梦

计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级：

有限总体的大量无放回抽样不是简单随机抽样

一、前言

“抽样”是概率论中的一个关键概念，一般情况下，“抽象”特指“简单随机抽样”。

那么，什么是“简单随机抽样”，什么不是“简单随机抽样”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解清楚这一问题。

切比雪夫不等式的含义及其可视化

一、前言

切比雪夫不等式（又称：切贝雪夫不等式，英文名称：chebyshev’s theorem）在概率论与数理统计中这门课程中是一个非常重要的概念，该不等式在大数定理中也发挥着重要的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过直观的文字与图形化解释，帮助同学们更好地理解切比雪夫不等式。

考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$
\exp (x)
$$

没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$

难度评级：

借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

二维连续型随机变量的几何意义是什么？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过对二维连续型随机变量几何意义的解释，让同学们能够建立对二维连续型随机变量更直观的理解。

二维连续型随机变量的几何意义是什么？| 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01 二维高斯分布的三维示意图.

证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = ?
$$

难度评级：

连续型随机变量的分布函数为什么要从 $-\infty$ 大开始积分？

一、前言

我们知道，连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数 $F$ 能够表示为非负可积的概率密度函数（分布密度函数）$p$ 在区间 $(- \infty, x)$ 上的积分，即：

$$
F(x) = \int_{\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ – \infty }}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t
$$

其中，$- \infty < x < + \infty$.

但是，为什么对 $p(t)$ 的积分要从 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -\infty }}$ 开始呢？

连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式

一、前言

我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：

$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$

但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？

$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用

一、前言

“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用 | 荒原之梦考研数学 — 图 01.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。

复合函数求偏导的两种理解方式

一、题目

已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z \mathrm{e}^{y}$, 取 $u$, $v$ 为新自变量，$w$ $=$ $w(u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2 } z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z
$$

难度评级：

图解全概率公式

一、前言

全概率公公式的定义如下：

荒原之梦考研数学 | 图片信息：pixabay.com-1598359

若事件 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{n}$ 两两互斥，且 $\sum_{i=1}^{n} A_{i}$ $=$ $\Omega$, $P(A_{i})$ $>$ $0$, 其中 $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$, 则对于任一事件 $B$, 有：

$$
P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}) P(B|A_{i})
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」就用图示的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。

基于函数证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式

一、前言

下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：

$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。