题目
证明:
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中:
$$
-1 < x < 1.
$$
证明:
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x \geqslant 1 + \frac{x^{2}}{2}.
$$
其中:
$$
-1 < x < 1.
$$
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0$ 及 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的表达式;
$(Ⅱ)$ 求曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。
继续阅读“2012年考研数二第19题解析:一阶线性微分方程、拐点”计算二重积分 $\iint_{D} xy d \sigma$, 其中,区域 $D$ 由曲线 $r=1+\cos \theta$ $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 与极轴围成。
继续阅读“2012年考研数二第18题解析:极坐标系下二重积分的计算”过点 $(0,1)$ 作曲线 $L:$ $y = \ln x$ 的切线,切点为 $A$, 又 $L$ 与 $x$ 轴交于 $B$ 点,区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $AB$ 围成,求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
继续阅读“2012年考研数二第17题解析:一重定积分、分部积分法、旋转体的体积、圆锥的体积”已知函数 $f(x) = \frac{1+x}{\sin x} – \frac{1}{x}$, 记 $a = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值;
$(Ⅱ)$ 若当 $x \rightarrow 0$ 时,$f(x) – a$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量,求常熟 $k$ 的值。
继续阅读“2012年考研数二第15题解析:常用等价无穷小、同阶无穷小、极限”设 $A$ 为三阶实对称矩阵,$A$ 的秩为 $2$, 且:
$$
A \begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 0\\
-1 & 1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$
$(Ⅰ)$ 求 $A$ 的所有特征值与特征向量
$(Ⅱ)$ 求矩阵 $A$.
继续阅读“2011年考研数二第23题解析:实对称矩阵、特征值和特征向量、向量正交运算”设向量组 $\alpha_{1} = (1,0,1)^{\top}$, $\alpha_{2} = (0,1,1)^{\top}$, $\alpha_{3} = (1,3,5)^{\top}$ 不能由向量组 $\beta_{1}=(1,1,1)^{\top}$, $\beta_{2} = (1,2,3)^{\top}$, $\beta_{3} = (3,4,a)^{\top}$ 线性表示。
$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值;
$(Ⅱ)$ 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性表示。
继续阅读“2011年考研数二第22题解析:线性相关、线性表示、秩、可逆矩阵”已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数,且 $f(1,y) = 0$, $f(x,1)=0$, $\iint_{D} f(x,y) dx dy = a$, 其中,$D={(x,y) | 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1}$, 计算二重积分 $I = \iint_{D} xy f_{xy}^{”}(x,y) dxdy$.
继续阅读“2011年考研数二第21题解析:二重积分、分部积分”一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 $x^{2} + y^{2} = 2y$ $ (y \geqslant \frac{1}{2})$ 与 $x^{2} + y^{2} = 1$ $(y \leqslant \frac{1}{2})$ 连接而成。
$(Ⅰ)$ 求容器的容积;
$(Ⅱ)$ 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?
(长度单位:$m$, 重力加速度为 $g$ $ m/s^{2}$, 水的密度为 $10^{3}$ $kg/m^{3}$)
继续阅读“2011年考研数二第20题解析:旋转体的体积、一重定积分”$(Ⅰ)$ 证明:对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$ 成立.
$(Ⅱ)$ 设 $a_{n} =$ $1+$ $\frac{1}{2}+$ $…$ $+\frac{1}{n}$ $- \ln n$ $(n=1,2,…)$, 证明数列 ${a_{n}}$ 收敛.
继续阅读“2011年考研数二第19题解析:函数单调性、微分中值定理、定积分、数列”设函数 $y(x)$ 具有二阶导数,且曲线 $l$:$y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点,记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x,y)$ 处切线的倾角,若 $\frac{d \alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}$, 求 $y(x)$ 的表达式。
继续阅读“2011年考研数二第18题解析:导数、三角函数、对数、二阶微分方程”设函数 $z = f(xy, yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数,函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}|_{x=1,y=1}$.
继续阅读“2011年考研数二第17题解析:复合函数求偏导、一阶导与极值点的性质”设函数 $y=y(x)$ 由参数方程:
$$
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3},\\
y = \frac{1}{3}t^{3} – t + \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.
$$
确定,求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。
继续阅读“2011年考研数二第16题解析:参数方程的求导、极值点、拐点、凹凸区间”已知函数
$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$
设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.
继续阅读“2011年考研数二第15题解析:无穷小与无穷大及各自的层级比较、洛必达法则”