标签： 考研数二真题

题目

一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho (x) = – x^{2} + 2x + 1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x} = ?$

题目

曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r = \theta$, 则 $L$ 在点 $(r, \theta) = (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 处切线的直角坐标系方程为 $?$

题目

设 $z=f(x,y)$ 是由 $e^{2yz} + x + y^{2} + z = \frac{7}{4}$ 确定的函数，则 $d z |_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})} = ?$

题目

设 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的可导奇函数，且 $f^{‘}(x) = 2(x-1)$, $x \in [0,2]$, 则 $f(7) = ?$

题目

$$
\int_{- \infty}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5} = ?
$$

题目

设函数 $u(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内二阶连续可导，且满足 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} \neq 0$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$, 则 $?$

$$
A. u(x,y) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得
$$

$$
B. u(x,y) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得
$$

$$
C. u(x,y) 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得
$$

$$
D. u(x,y) 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得
$$

题目

设函数 $f(x)=\arctan x$, 若 $f(x)=xf^{‘}(\xi)$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}} = ?$

$$
A. 1
$$

$$
B. \frac{2}{3}
$$

$$
C. \frac{1}{2}
$$

$$
D. \frac{1}{3}
$$

题目

曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = t^{2} + 7,\\
y = t^{2} + 4t + 1
\end{matrix}\right.$ 上对应于 $t=1$ 处的曲率半径为 $?$

$$
A. \frac{\sqrt{10}}{50}
$$

$$
B. \frac{\sqrt{10}}{100}
$$

$$
C. 10 \sqrt{10}
$$

$$
D. 5 \sqrt{10}
$$

题目

设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，$g(x) = f(0)(1-x) + f(1)x$, 则在区间 $[0, 1]$ 上 $?$

$$
A. 当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时，f(x) \geqslant g(x)
$$

$$
B.当 f^{‘}(x) \geqslant 0 时，f(x) \leqslant g(x)
$$

$$
C. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时，f(x) \geqslant g(x)
$$

$$
D. 当 f^{”}(x) \geqslant 0 时，f(x) \leqslant g(x)
$$

题目

下列曲线有渐近线的是 $?$

$$
A. y = x + \sin x
$$

$$
B. y = x^{2} + \sin x
$$

$$
C. y = x + \sin \frac{1}{x}
$$

$$
D. y = x^{2} + \sin \frac{1}{x}
$$

题目

当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，若 $\ln ^{a} (1+2a)$, $(1-\cos x)^{\frac{1}{a}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $a$ 的取值范围是 $?$

$$
A. (2, + \infty)
$$

$$
B. (1, 2)
$$

$$
C. (\frac{1}{2}, 1)
$$

$$
D. (0,\frac{1}{2})
$$