标签： 线性代数练习题

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(B) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(C) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(D) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

难度评级：

继续阅读“矩阵 A 与其变体一定具有相同的特征向量吗？”

一、题目

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是：

(A) $(1,0,-1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(3,3,-6)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(4,-1,2)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,1,-2)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“在选择题中如何寻找特征向量：只要前两项没有公倍数就不用往后算了”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\lambda=0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(C) 至多是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

难度评级：

继续阅读“秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零”

一、题目

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 那么与 $\boldsymbol{A}$ 有相同特征值的矩阵是：

(A) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$

(B) $A^{2}$

(C) $\boldsymbol{A}^{-1}$

(D) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$

难度评级：

继续阅读“矩阵和其转置矩阵具有相同的特征值”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,-2,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,0,-2)^{\mathrm{\top}}$ 是 $A x=0$ 的基础解系，则必有：

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

难度评级：

继续阅读“通过基础解系找到系数矩阵中线性无关的列向量”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是齐次方程组 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系,则 $A x=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是哪个？

(A) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等价的向量组

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$

(C) 与 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 等秩的向量组

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$

难度评级：

继续阅读“构成基础解系的各个向量必须是线性无关的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵不可逆的时候，一定有非零解”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-2,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 应为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“这样的题目不要直接逐一代入，先挖掘一下题目隐含的条件”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置, 若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta_{t}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系, 则秩 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级：

继续阅读“看清楚，这里说的不是原矩阵而是转置矩阵！”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0)^{\mathrm{\top}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 那么下列向量中，属于 $A x=0$ 解向量的是哪个？

(A) $(1,-1,3)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(2,1,-3)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(2,2,-5)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(2,-2,6)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如何通过方程组的基础解系验证一个向量是否是该方程组的解向量？”

一、题目

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2} + \ \ x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是哪个？

(A) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(1,2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(-1,0,1,1)^{\mathrm{\top}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,-2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如何求解一个齐次线性方程组的基础解系？”

一、题目

已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\
2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=0 \\
3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\end{array}\right.$, 有无穷多解, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“系数矩阵不满秩的齐次线性方程组有无穷多解”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同的解，那么，下面仍是线性方程组 $A x=b$ 特解的有哪些？

$$
\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad 3 \boldsymbol{\alpha}_{1}-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad \frac{1}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right), \quad \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)
$$

难度评级：

继续阅读“怎么判断经过四则运算之后的解还是不是原线性方程组的解？”

一、题目

已知，某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为了 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$, 则选取的自由变量不能是以下哪个组合？

(A) $x_{2}, x_{5}$

(B) $x_{1}, x_{5}$

(C) $x_{3}, x_{5}$

(D) $x_{2}, x_{3}$

难度评级：

继续阅读“非自由未知数的选取并不一定是固定的”

一、题目

若四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$, $\boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$. 则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=?$

难度评级：

继续阅读“如何建立两个向量组之间的联系？”