已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？
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继续阅读“伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？”已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { C B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { C B } \boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { B C A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(D) $\boldsymbol { B A } \boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
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继续阅读“单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵”已知 $\boldsymbol { A }$ 与 $\boldsymbol { B }$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }$, 则一定有：
(A) $\boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { O }$ 或 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$
(B) $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$
(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$
(D) $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$
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继续阅读“矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律”记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
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继续阅读“用行列式表示的方程该怎么求根？”$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$
(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$
(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$
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继续阅读“高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律”已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：
A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$
B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
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graph TD
A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
C --> G;
G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]
继续阅读“当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组” 已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $|A| = \frac{1}{2}$, 则行列式：
$$
|(2 A)^{-1} – (2A)^{*}| = ?
$$
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继续阅读“当抽象矩阵的逆运算和伴随矩阵运算出现常数该怎么处理？”设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ($\quad$)
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继续阅读“矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1”已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$
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继续阅读“对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算”已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$
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继续阅读“二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩”若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$
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继续阅读“使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？”已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|A+E| = 1$, $A+2E = 1$, $|A+3E| = 1$, 则 $A+4E = ?$
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继续阅读“通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值”已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{\top} A$ 是正定矩阵。
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继续阅读“什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？”下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？
A. $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
C. $\left(\begin{array}{lll}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right)$
B. $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -6\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6\end{array}\right)$
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继续阅读“不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵”