已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=?$
难度评级：
继续阅读“逆矩阵的转置矩阵有啥性质你知道吗？”关于可逆矩阵的性质，可以参考《可逆矩阵的性质汇总》
已知，三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A^{*}}$ 的逆矩阵 $\left(A^{*}\right)^{-1}=?$
难度评级：
继续阅读“求解具体矩阵时一定记得先用对应的抽象矩阵公式化简”已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶非零矩阵, 且秩 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$, 则以下说法中，正确的是哪个？
(A) $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=r(\boldsymbol{A})$.
(B) $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=2 r(\boldsymbol{B})$.
(C) $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}) \leqslant 2 r(\boldsymbol{B})$.
(D) $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=0$.
难度评级：
继续阅读“拼接矩阵会对秩产生什么样的影响？”设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{C}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $r(\boldsymbol{A})=r$, 矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 的秩为 $r_{1}$, 则 $r$ 与 $r_{1}$ 的关系如何？
难度评级：
继续阅读“与可逆矩阵相乘不会改变秩”已知 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=?$
难度评级：
继续阅读“你能看出来这道考察伴随矩阵的题目的隐含条件吗？”下面的向量组中，线性无关的是哪个？
(A) $(1,2),(3,4),(5,6)$.
(B) $(1,2,3),(4,5,6),(3,6,9)$.
(C) $(1,2,3),(4,6,5),(7,9,8)$.
(D) $(1,2,3),(0,0,0),(4,7,5)$.
难度评级：
继续阅读“向量组线性相关的 3 个判断方法和向量组线性无关的 2 个判断方法”已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=-2$, 则 $\left|\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{*} \right|=?$
难度评级：
继续阅读“这道题用伴随矩阵的性质可以秒解”已知，有行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和是多少？
难度评级：
继续阅读“四两拨千斤：把计算代数余子式之和转变为求解行列式的值”$$
D=\left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right| = ?
$$
难度评级：
继续阅读“你会使用逆序计算这个行列式吗？”已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维列向量，则以下说法中正确的是哪个？
(i) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$
(ii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$
(iii) $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}=\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta}$
(iiii) $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\top}=\boldsymbol{\beta}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\top}$
难度评级：
继续阅读“这道“转置”题，你转晕了嘛？”下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？
(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$
(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$
(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$
(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$
难度评级：
继续阅读“向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关, $\boldsymbol{B}$ 是四阶矩阵, 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}$. 则 $r\left(\boldsymbol{B}^{*}\right)=?$
难度评级：
继续阅读“当原矩阵满秩的时候，伴随矩阵也满秩”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 1 & -1 & a \\\ 2 & 3 & a & 4 \\\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$, 则 $a=?$
难度评级：
继续阅读“这道题看似有多种解法，其实只能用行阶梯来做”已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分必要条件吗？
难度评级：
继续阅读“你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？”