一、题目
证明下面两个式子是成立的：
1.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x<1
$$
2.
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>1
$$
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继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？”标签： 高等数学练习题
你会判断积分不等式的正负性吗？
一、题目
证明下面两个结论：
1.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0
$$
2.
$$
\int_{0}^{2 \pi} \cos x \cdot \ln (2+\cos x) \mathrm{d} x>0
$$
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继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗？”这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题
一、题目
已知 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$, 则 $f^{\prime}(1)=?$
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继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题”你能看出这道题该用哪个中值定理吗？
一、题目
已知 $f(0)=0$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\infty)$ 上是单调递增还是单调递减？
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继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗？”想求解这个答案需要猜一猜
只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦
一、题目
已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？
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继续阅读“只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦”你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）
一、题目
已知函数 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$, 则：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h} = ?
$$
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继续阅读“你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）”你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？
一、题目
已知 $I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \ln (1+x)}-1}{\mathrm{e}^{2 x^{3}}-1}=3$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}= ?$
难度评级：
继续阅读“你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？”变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{x_{0}}^{x} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t = ?
$$
其中 $x_{0}>0$ 且 $x>x_{0}$.
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继续阅读“变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！”分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！
一、题目
求解下面的数列极限：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{1}^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x=?
$$
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继续阅读“分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！”十次方了不起？洛（必达）他！
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{\sin ^{10} x}=
$$
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继续阅读“十次方了不起？洛（必达）他！”注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的
一、题目
由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导且连续且 $f^{\prime}(x_{0}) = a$ 的结论吗？
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继续阅读“注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的”变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ $\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$, 则 $g^{\prime}(x) = ?$
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继续阅读“变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了”在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！
题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！
一、题目
已知 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = ?$
难度评级：
继续阅读“题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！”