一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的邻域内可导, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内单调增的 ( )
(A) 充分必要条件
(B) 必要条件但非充分条件
(C) 充分条件但非必要条件
(D) 既非必要也非充分条件
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继续阅读“你知道“波浪递增”吗：一点处一阶导是否大于零与该点邻域内函数是否单调增或者单调减无关”标签： 高等数学练习题
带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法
一、题目
下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是哪一个？
(A) $\int_{0}^{x}(|t|+t) d t$
(B) $|x|\left[x+\int_{0}^{|x|} e^{t^{2}} d t\right]$
(C) $|\tan x-\sin x|$
(D) $\sin |x|+\cos |x|$
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继续阅读“带绝对值的函数不一定不可导：用定义分析是普适的方法”一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件吗？
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继续阅读“一点处的导数存在指的是该点处的左右导数都存在，但一点处的极限存在只需要一侧存在即是存在”一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点
一、题目
函数 $y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是（），单调减区间是（），极值是（），凹区间是（），凸区间是（）
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继续阅读“一题搞定有关函数图像的几个关键问题：单调区间，凹凸区间，极值点”题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值
一、题目
已知 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是多少？
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继续阅读“题目没问是极大值点还是极小值点的时候也要求解二阶导——因为一阶导等于零的点不一定有极值”寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）
一、题目
曲线 $x=\cos ^{3} t$, $y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小, 则在该点处的曲率半径为多少？
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继续阅读“寻找曲线上最小的曲率半径（曲率的倒数）”求解参数方程任意一点处的曲率
一、题目
已知 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)
\\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=?$, $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=?$, $y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=?$
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继续阅读“求解参数方程任意一点处的曲率”这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}} = ?
$$
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继续阅读“这道题用麦克劳林公式（泰勒公式在 x = 0 处的特殊情况）可以很快求解”对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶可逆矩阵，$\boldsymbol{\lambda}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则 $\frac{1}{3} \boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{E}$ 必有特征值（）
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继续阅读“对矩阵的运算会同步反映到矩阵的特征值上”n 阶导函数的最小值你会求解吗
求解参数方程所表示曲线指定点处的法线方程
一、题目
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^{2} t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 对应的点处的法线方程为（）
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继续阅读“求解参数方程所表示曲线指定点处的法线方程”求曲线过某点处的切线：先确定该点是否在曲线上，如果该点不在曲线上，则先求出切点，再求解切线方程
一、题目
曲线 $y=\mathrm{e}^{x^{3}}$ 过原点的切线是（）
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继续阅读“求曲线过某点处的切线：先确定该点是否在曲线上，如果该点不在曲线上，则先求出切点，再求解切线方程”你知道怎么使用泰勒公式求解高阶导数吗
寻找第二类可去间断点的重点步骤是找出所有可能的间断点并对这些点左右两侧的极限分别进行计算
一、题目
函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x^{2}-\pi x} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 有多少个第二类间断点？
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继续阅读“寻找第二类可去间断点的重点步骤是找出所有可能的间断点并对这些点左右两侧的极限分别进行计算”间断点不一定是不存在的点：间断点也可能是存在的，比如跳跃间断点
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+n x(1-x) \sin ^{2} \pi x}{1+n \sin ^{2} \pi x}$, 则 $f(x)$ 的间断点是（）
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继续阅读“间断点不一定是不存在的点：间断点也可能是存在的，比如跳跃间断点”