标签： 高等数学练习题

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array},F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 则 $F(x)$ 在 $(-1,1)$ 区间上具有什么特征？

难度评级：

继续阅读“有界震荡间断点处是可积的”

一、题目

已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的一个原函数, 则据此能得出 $f(x)+F(x)$ 在 $(a,b)$ 内的哪些性质？

难度评级：

继续阅读“原函数和导数之间的那些性质都在这道题里了”

一、题目

证明下面两个式子是成立的：

1.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x<1$$

2.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>1$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式和某个数字之间的大小关系吗？”

一、题目

证明下面两个结论：

1.

$${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>0$$

2.

$${\int }_0^{2\pi }\cos x\cdot \ln (2+\cos x)\mathrm{d}x>0$$

难度评级：

继续阅读“你会判断积分不等式的正负性吗？”

一、题目

已知 $f(t)={\int }_0^t\mathrm{d}x{\int }_x^t{\mathrm{e}}^{t{y}^2}\mathrm{d}y$, 则 $f^{\prime }(1)=?$

难度评级：

继续阅读“这道题看似是一道变限积分求导题，其实是一道二重积分计算题”

一、题目

已知 $f(0)=0$, $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 为严格单调增函数,则函数 $g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$, $+\mathrm{\infty })$ 上是单调递增还是单调递减？

难度评级：

继续阅读“你能看出这道题该用哪个中值定理吗？”

一、题目

已知常数 $a>1$, $y=x$ 为曲线 $y=a^x$ 的切线, 则 $a$ 等于多少，切点是多少？

难度评级：

继续阅读“想求解这个答案需要猜一猜”

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，且函数 $f(x)=|x-a|g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导, 则 $g(a)$ 需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“只要坚持导数存在则“左导等于右导”的原则，这道题你就会做啦”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime }(4)=1$, 则：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h)-f(1-3\tan h)}{h}=?$$

难度评级：

继续阅读“你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）”

一、题目

已知 $I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+f(x)\ln (1+x)}-1}{{\mathrm{e}}^{2x^3}-1}=3$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=?$

难度评级：

继续阅读“你知道这道题为什么不能用洛必达法则吗？”

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{x_0}^x\ln (1+\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t=?$$

其中 $x_0>0$ 且 $x>x_0$.

难度评级：

继续阅读“变限积分的极限怎么算？放缩法试一试哦！”

一、题目

求解下面的数列极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n}}{\int }_1^n\ln (1+\frac{1}{\sqrt{x}})\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“分式中有变限积分？一“洛（洛必达）”解千愁！”

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-{\int }_0^{x^2}\cos t^2\mathrm{d}t}{{\sin }^{10}x}=$$

难度评级：

继续阅读“十次方了不起？洛（必达）他！”

一、题目

由 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)$ $=$ $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导且连续且 $f^{\prime }(x_0)=a$ 的结论吗？

难度评级：

继续阅读“注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的”

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ ${\int }_{-x}^{0}tf(x+t)\mathrm{d}t$, 则 $g^{\prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了”