标签： 高等数学练习题

一、题目

继续阅读“如果不能一步登天，那就步步为营”

已知公式

对于自然常数 $\mathrm{e}$, 我们有：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}
$$

变形一

题目

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} = ?
$$

解析

$$
\begin{aligned}
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} & = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$

变形二

已知 $a$ 为正整数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = ?
$$

解析

首先，令 $y = (ax)^{-1}$, 即：

$$
ax = \frac{1}{y}, \ x = \frac{1}{ay}, \ y \rightarrow \infty
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} & = \lim_{y \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{ay} \\ \\
& = \lim_{y \rightarrow \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y} \right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$

---

一、前言

我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.

我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.

所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.

继续阅读“平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂”

一、题目

求解下面函数的定义域：

$$
f(x) = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}
$$

难度评级：

继续阅读“递进式的定义域判断方法”

一、前言

有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.

继续阅读“取对数的好处：将底数上的变量移动到指数上”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$

继续阅读“由两道题得出的有关自然对数 $\ln$ 的两个二级结论”

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

继续阅读“求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数”

一、题目

已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.

继续阅读“分段函数的偏导数要分段求解”

一、前言

在计算式子极限的时候，对于形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 这样的式子，我们一般都可以先尝试对其取自然对数 $\ln$, 因为这样可以将形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 极限，转换为形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 或者 $\frac{0}{0}$ 的极限，从而就可以使用洛必达法则，或者其他求解极限的方式完成接下来的求解过程.

继续阅读“次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数”

一、前言

在对多元函数求偏导数的时候，一般情况下，我们可以将除了被求偏导数的变量之外的其他变量的值先代入原式中（如果这些变量有具体的数值或者关系式的话），这在通常情况下都可以降低我们求偏导的运算量.

在本文中，我们就通过两道例题，来看一看提前代入与求偏导无关的变量与否对计算难易程度的影响.

继续阅读“求解多元函数中某个变量的偏导数时，最好先将其他变量的已知值代入原式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目给同学们展示一下如何将“求和”转为“积分”，内容涵盖考研数学中常考的一重求和转一重积分，以及二重求和转二重积分.

继续阅读“单重求和转一重积分，双重求和转二重积分”

一、题目

继续阅读“两个收敛的级数逐项交替合并（隔项合并）后得到的级数也收敛”

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^{2} + x – 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?
$$

继续阅读“提取公因式的时候别被根号迷惑了”

一、题目

已知 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^{3}} = 0$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 + f(x)}{x^{2}} = ?$

继续阅读“借助极限与无穷小的关系求解极限”

一、题目

已知 $a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) \sin \frac{n \pi}{2}$, 请证明数列 ${ a_{n} }$ 没有极限（发散）.

继续阅读“要使含有三角函数的数列的子列存在极限，则步长需要是三角函数周期的整数倍”