一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们总结一下线性代数中矩阵的秩有关的性质/结论/公式.
继续阅读“矩阵秩的性质汇总”标签： 考研数学三
平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂
一、前言
我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.
我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.
所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.
继续阅读“平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂”N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值
基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们看到了如何用矩阵初等变换图来表示可逆矩阵，而在本文中，我们就对矩阵初等变换图做进一步的升级，并基于升级之后的矩阵初等变换图表示出来不可逆的矩阵.
继续阅读“基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵”等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定
通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.
继续阅读“通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质”转置运算和逆运算的桥梁：正交矩阵
什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.
不同的取整运算：取整、上取整、下取整
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.
在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.
二、正文
在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——
但是，在高等数学中，“ 取 整 ”运算等同于“ 下 取 整 ”运算，即“将一个实数 舍 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$
同时，在高等数学中，“ 上 取 整 ”运算，即“将一个实数 进 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$
三、例题
图解等价/相似矩阵的链式等秩公式
一、前言
根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。
继续阅读“图解等价/相似矩阵的链式等秩公式”求解逆矩阵的三种方法
一、题目
设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{2} – 3 \boldsymbol{A} + 2 \boldsymbol{E}$, 则 $\boldsymbol{B}^{-1} = \underline{\quad \quad \quad}$
继续阅读“求解逆矩阵的三种方法”快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号
一、前言
通过《求解分块矩阵的伴随矩阵》这篇文章，我们学会了如何快速求解分块矩阵的伴随矩阵，即：
$$
\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^{*} & – \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*} \\ \boldsymbol{O} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^{*} \end{bmatrix}
$$
又根据《一阶矩阵的伴随矩阵是多少？》这篇文章可知，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是一阶矩阵的话，则：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{B}^{*} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
$$
于是，对于一个形如 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 的二阶矩阵，其伴随矩阵的计算公式为：
$$
\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix}
|b| \cdot 1 & -1 \cdot 1 \\
0 & a \cdot 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
b & -1 \\
0 & a
\end{bmatrix}
$$
但是，直接使用针对分块矩阵的伴随矩阵计算公式，只能计算类似 $\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ 这样的二阶矩阵的伴随矩阵，接下来，我们就来看看如何快速计算任意一个二阶矩阵的伴随矩阵.
继续阅读“快速求解二阶矩阵的伴随矩阵：主对调、副变号”一阶矩阵的伴随矩阵是多少？
同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？
一、前言
我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：
$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$
也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.
那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.
继续阅读“同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？”