考研数学一 – 第 3 页

一、前言

在本文中，我们将给出样本空间的定义，并列举一些常见随机试验的样本空间，帮助同学们更清楚地理解什么是样本空间.

继续阅读

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结确定函数定义域时的一些常用约束条件，以及有关“变量表达式”的一些注意事项.

继续阅读

一、题目

求解下面函数的定义域：

$$
f(x) = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x}}}
$$

难度评级：

继续阅读

随机试验的三大要素、什么是随机试验的“有限尺度”，以及常见的随机试验举例

一、前言

我们知道，概率论所研究的核心对象就是随机事件所表现出来的随机现象，而对随机现象的观察，则被称为“随机试验”.

所以，要学习概率论，我们就必须明白什么是随机试验.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过随机试验的三大要素来定义随机试验，同时给出“有限尺度”这一概念，以及一些生活中常见的随机试验的例子，帮助同学们进一步理解什么是随机试验.

继续阅读

一、前言

有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.

继续阅读

为什么不能在加减法中做局部的变量替换？因为等价无穷小是基于乘除法定义的

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$

继续阅读

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$

继续阅读

求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数

一、题目

已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.

继续阅读

一、前言

如果我们有一个数列如下：

$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$

那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：

$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$

类似地，如果我们有一个级数如下：

$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$

那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：

$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$

现在的问题是：

如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$

继续阅读

一、题目

已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.

继续阅读

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.

继续阅读

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对分块矩阵常用的运算做一个汇总，方便同学们快速解题.

继续阅读

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图形的方式给同学们绘制出来三角形的重心、垂心、内心、外心和旁心这五个心. 同时需要注意的是，三角形的这五个心在在任意一个三角形中都是存在的.

继续阅读

一、前言

在计算式子极限的时候，对于形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 这样的式子，我们一般都可以先尝试对其取自然对数 $\ln$, 因为这样可以将形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 极限，转换为形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 或者 $\frac{0}{0}$ 的极限，从而就可以使用洛必达法则，或者其他求解极限的方式完成接下来的求解过程.

继续阅读