一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。
继续阅读“分块矩阵的秩相关公式及实战化解释”标签： 考研数学一
平均值不等式的详细证明过程
一、前言
已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：
$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。
继续阅读“平均值不等式的详细证明过程”证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：
$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$
继续阅读“证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重”为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。
幂指函数的求导策略：什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”？什么时候用“$\ln$ 落下”？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过计算下面三个式子的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的方式，给同学们讲清楚在对幂指函数求导时，什么时候用“$\mathrm{e}$ 抬起”，什么时候用“$\ln$ 落下”：
$$
\begin{aligned}
① \quad y = & \ x ^{\sin x} \\
② \quad y = & \ x^{\cos x} + x^{x} \\
③ \quad y = & \ x^{\cos x} \cdot x^{\sin x}
\end{aligned}
$$
对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”
一、前言
在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。
但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。
接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。
继续阅读“对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则””关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称
一、题目
计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:
$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称”对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数
一、题目
已知：
$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$
则：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$
Tip
$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$
zhaokaifeng.com
难度评级：
继续阅读“对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数”考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。
继续阅读“考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分”求导去积分符号，积分去求导符号
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：
$$
f^{(n)}(0) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求导去积分符号，积分去求导符号”考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总
一、前言
泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。
继续阅读“考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总”非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解
一、题目
已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：
[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$
[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$
[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$
[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$
难度评级：
继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解”不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？
[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$
[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$
[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
难度评级：
继续阅读“不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了”利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C
一、题目
已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$
难度评级：
继续阅读“利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C”对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵
一、前言
关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。
在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。
对 称 初 等 变 换 示 意 图
graph TD
O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
B --> C;
继续阅读“对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵” 单位矩阵可以用来记录初等变换
一、前言
线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。
继续阅读“单位矩阵可以用来记录初等变换”