标签： 线性代数练习题

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{B}|=?$

难度评级：

继续阅读“行列式的值就是对应的矩阵的特征值的积”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,2)^{\mathrm{\top}}$, 则矩阵 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 的特征值是多少？

难度评级：

继续阅读“实对称矩阵（包括对角矩阵）非零特征值的个数就是该矩阵的秩：其他矩阵没有这个规律哦”

一、题目

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right]$ 的非零特征值是（）

难度评级：

继续阅读“特征值的定义忘了没？做完这道题马上想起来！”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}
-x_{1}+a x_{2}+2 x_{3}=1 \\
x_{1}-x_{2}+a x_{3}=2 \\
5 x_{1}+b x_{2}-4 x_{3}=a
\end{array}\right.$ 的两个解，则此方程组的通解为（）

难度评级：

继续阅读“求解线性方程组进行矩阵化简运算时：每进行一次换行操作都要加一次负号”

一、题目

已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}
a x_{1}+x_{2}+x_{3}=a-3 \\
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=-2 \\
x_{1}+x_{2}+a x_{3}=-2
\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“有无穷多解的非齐次线性方程组的增广矩阵一定不满秩”

一、题目

已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{aligned} a x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ x_{1}+(a+2) x_{2}+3 x_{3} & =0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =0\end{aligned}\right.$ 有无穷多解，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“有无穷多解的齐次线性方程组的系数矩阵一定不满秩”

题目 01

齐次线性方程组 $\left\{\begin{aligned}
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+x_{4} & =0 \\
2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4} & =0 \\
x_{1} \quad \quad \quad +x_{3}-x_{4} & =0
\end{aligned}\right.$ 的基础解系是（）

难度评级：

继续阅读“齐次方程组经典例题：求基础解系”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维列向量, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 坐标不成比例, $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 则 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级：

继续阅读“不能表示所有向量的向量组一定线性相关”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则秩 $r(\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{A})=?$

难度评级：

继续阅读“大于四阶的常数矩阵乘法一般是不需要我们真的去计算的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2, a,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a+1,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 的一个极大线性无关组，则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“已知极大线性无关组求解未知数的值：记得回头验证”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,3)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(3,3,4)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=(5,1,8)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{5}=(0,0$, $2)^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是（）

难度评级：

继续阅读“极大线性无关组就是所有线性无关向量的集合”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, a, 1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(a, 1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, a)^{\mathrm{\top}}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“怎么保证这道题目中矩阵的秩为二：回头验证很重要”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1, a)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 2,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}=\left(4,-4, a^{2}\right)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\gamma}=$ $(a, b, c)^{\mathrm{\top}}$. 如 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表出, 但 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & a & 4 \\ 1 & 0 & 2 & a \\ -1 & a & 1 & 0\end{array}\right]$, $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $a$ 需要满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“秩与行阶梯形矩阵总是形影不离”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)=?$

难度评级：

继续阅读“基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数”